Sejam U, V subespaços vetoriais de R^3. Determine uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U+V e U cap V.
U=(x, y, x) ; x=0, V=(x, y, z) ; y-2 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão dos subespaços , , e no espaço vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como subespaços vetoriais, bases, dimensões, soma e interseção de subespaços. Vamos precisar identificar vetores que geram cada subespaço e entender como combiná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o subespaço U = (x, y, x) mid x = 0 . Ele é definido por:
Isso significa que . Então, qualquer vetor em tem a forma .

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para , (0, 1, 0) , . Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o subespaço. Como é formado por vetores , podemos escolher um vetor que cubra todos os possíveis . Por exemplo, o vetor .
Então, a base de é:
A dimensão de é o número de vetores na base, que nesse caso é 1.

Passo 4

Vamos agora analisar o subespaço V = (x, y, z) mid y - 2z = 0 . Ele é definido por:
Isso implica que . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como .

Passo 5

Para encontrar uma base para (x, 2z, z) = x(1, 0, 0) + z(0, 2, 1) , vamos expressar os vetores em termos de parâmetros livres. Podemos escrever:
, (1, 0, 0),; (0, 2, 1) ,
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e . Portanto, a base de é:
A dimensão de é 2, já que existem dois vetores na base.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar (0, y, 0) + (x, 2z, z) = (x, y + 2z, z) , que é a soma dos subespaços e . Isso significa que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Tomando um vetor de , que é , e somando com um vetor de , que é , temos:

Passo 7

Para encontrar uma base para (x, y', z) , precisamos identificar vetores que gerem todos os vetores da soma. Observando a expressão , (1, 0, 0),, (0, 1, 0),, (0, 0, 1) , , podemos reescrever como , onde . Assim, temos:
Isso mostra que é todo o espaço , pois podemos variar , e livremente. Portanto, uma base para é a base canônica de :
A dimensão de é 3.

Passo 8

Por último, vamos determinar (0, y, 0) = (x, 2z, z) , que é a interseção dos subespaços x = 0 y = 2z z = 0 e , (0, 0, 0) , . Isso significa que precisamos encontrar todos os vetores que pertencem a ambos e .
Sabemos que consiste em vetores e em . Então, igualando as formas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da última equação, . Substituindo em , temos . E . Portanto, o único vetor que pertence a ambos é , o vetor nulo.
A interseção é:
Como contém apenas o vetor nulo, sua dimensão é 0.

Resposta

  • Base de :
    Dimensão de : 1
  • Base de :
    Dimensão de : 2
  • Base de :
    Dimensão de : 3
  • Base de :
    Dimensão de : 0

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