Sejam subespaços vetoriais de . Determine uma base e a dimensão dos subespaços e . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão dos subespaços , , e no espaço vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como subespaços vetoriais, bases, dimensões, soma e interseção de subespaços. Vamos precisar identificar vetores que geram cada subespaço e entender como combiná-los.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o subespaço . Ele é definido por:
Isso significa que . Então, qualquer vetor em tem a forma .
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o subespaço. Como é formado por vetores , podemos escolher um vetor que cubra todos os possíveis . Por exemplo, o vetor .
Então, a base de é:
A dimensão de é o número de vetores na base, que nesse caso é 1.
Passo 4
Vamos agora analisar o subespaço . Ele é definido por:
Isso implica que . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Passo 5
Para encontrar uma base para , vamos expressar os vetores em termos de parâmetros livres. Podemos escrever:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e . Portanto, a base de é:
A dimensão de é 2, já que existem dois vetores na base.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar , que é a soma dos subespaços e . Isso significa que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Tomando um vetor de , que é , e somando com um vetor de , que é , temos:
Passo 7
Para encontrar uma base para , precisamos identificar vetores que gerem todos os vetores da soma. Observando a expressão , podemos reescrever como , onde . Assim, temos:
Isso mostra que é todo o espaço , pois podemos variar , e livremente. Portanto, uma base para é a base canônica de :
A dimensão de é 3.
Passo 8
Por último, vamos determinar , que é a interseção dos subespaços e . Isso significa que precisamos encontrar todos os vetores que pertencem a ambos e .
Sabemos que consiste em vetores e em . Então, igualando as formas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da última equação, . Substituindo em , temos . E . Portanto, o único vetor que pertence a ambos é , o vetor nulo.
A interseção é:
Como contém apenas o vetor nulo, sua dimensão é 0.