Sejam
subespaços vetoriais de
. Determine uma base e a dimensão dos subespaços
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão dos subespaços
,
,
e
no espaço vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como subespaços vetoriais, bases, dimensões, soma e interseção de subespaços. Vamos precisar identificar vetores que geram cada subespaço e entender como combiná-los.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o subespaço
. Ele é definido por:
Isso significa que
. Então, qualquer vetor em
tem a forma
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para
. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o subespaço. Como
é formado por vetores
, podemos escolher um vetor que cubra todos os possíveis
. Por exemplo, o vetor
.
Então, a base de
é:
A dimensão de
é o número de vetores na base, que nesse caso é 1.
Passo 4
Vamos agora analisar o subespaço
. Ele é definido por:
Isso implica que
. Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como
.
Passo 5
Para encontrar uma base para
, vamos expressar os vetores em termos de parâmetros livres. Podemos escrever:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
. Portanto, a base de
é:
A dimensão de
é 2, já que existem dois vetores na base.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
, que é a soma dos subespaços
e
. Isso significa que
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Tomando um vetor de
, que é
, e somando com um vetor de
, que é
, temos:
Passo 7
Para encontrar uma base para
, precisamos identificar vetores que gerem todos os vetores da soma. Observando a expressão
, podemos reescrever
como
, onde
. Assim, temos:
Isso mostra que
é todo o espaço
, pois podemos variar
,
e
livremente. Portanto, uma base para
é a base canônica de
:
A dimensão de
é 3.
Passo 8
Por último, vamos determinar
, que é a interseção dos subespaços
e
. Isso significa que precisamos encontrar todos os vetores que pertencem a ambos
e
.
Sabemos que
consiste em vetores
e
em
. Então, igualando as formas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da última equação,
. Substituindo em
, temos
. E
. Portanto, o único vetor que pertence a ambos é
, o vetor nulo.
A interseção
é:
Como contém apenas o vetor nulo, sua dimensão é 0.
Resposta
-
Base de
:
Dimensão de: 1 -
Base de
:
Dimensão de: 2 -
Base de
:
Dimensão de: 3 -
Base de
:
Dimensão de: 0