Provar as propriedades de soma de matrizes, matrizes transpostas e matriz inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar algumas propriedades envolvendo soma de matrizes, matrizes transpostas e matrizes inversas. Isso tudo faz parte da álgebra linear, que é como a gente manipula matrizes para resolver vários tipos de problemas matemáticos. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa somar matrizes, como funciona a transposição delas e o que significa uma matriz inversa.

Passo 2

Propriedades da Soma de Matrizes
Primeiro, vamos falar sobre a soma de matrizes. Somar matrizes é bem simples: a gente soma elemento por elemento. Por exemplo, se temos duas matrizes (A + B)ij = aij + bij = bij + aij = (B + A)ij e do mesmo tamanho, a soma é uma matriz onde cada elemento .
Uma das primeiras propriedades que a gente tem que provar é a comutatividade, ou seja, .
Prova da Comutatividade:
Como isso vale para todo elemento , então . Fácil, né?

Passo 3

Outra propriedade importante é a associatividade da soma, que diz que [(A + B) + C]ij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = [A + (B + C)]ij .
Prova da Associatividade:
Então, . Isso mostra que a soma de matrizes é associativa.

Passo 4

Agora, vamos ver a existência do elemento neutro, que é a matriz zero. Queremos mostrar que existe uma matriz (A + 0)ij = aij + 0 = aij tal que .
Prova da Existência do Elemento Neutro:
Então, . A matriz zero realmente age como elemento neutro na soma de matrizes.

Passo 5

Por último, vamos falar sobre o elemento inverso. Para toda matriz (A + (-A))ij = aij + (-aij) = 0 , existe uma matriz tal que .
Prova da Existência do Elemento Inverso:
Logo, . Assim, cada matriz tem um inverso aditivo na soma de matrizes.

Passo 6

Propriedades das Matrizes Transpostas
Agora vamos para as matrizes transpostas. A transposta de uma matriz (A + B)^Tij = (A + B)ji = aji + bji = A^Tij + B^Tij = (A^T + B^T)ij , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas.
Uma propriedade chave é que a transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas: .
Prova de :
Portanto, .

Passo 7

Outra propriedade é que a transposta de um produto escalar é o produto escalar da transposta: (cA)^Tij = (cA)ji = c cdot aji = c cdot A^Tij = (cA^T)ij , onde é um número real.
Prova de :
Assim, .

Passo 8

Também vale que a transposta da transposta retorna a matriz original: (A^T)^Tij = A^Tji = aij = Aij .
Prova de :
Logo, .

Passo 9

Além disso, a transposta do produto de duas matrizes segue: (AB)^Tij = (AB)ji = sumk ajk bki = sumk bki ajk = sumk B^Tik A^Tkj = (B^T A^T)ij .
Prova de :
Considerando que é definido, temos:
Portanto, .

Passo 10

Propriedades das Matrizes Inversas
Agora vamos para as matrizes inversas. Uma matriz AB cdot B^-1 A^-1 = A cdot (BB^-1) cdot A^-1 = A cdot I cdot A^-1 = AA^-1 = I inversível tem uma matriz B^-1 A^-1 cdot AB = B^-1 cdot (A^-1 A) cdot B = B^-1 cdot I cdot B = B^-1 B = I tal que , onde é a matriz identidade.
Primeira propriedade: o inverso do produto de duas matrizes é o produto dos inversos na ordem reversa: .
Prova de :
E
Então, .

Passo 11

Outra propriedade é que o inverso do inverso de uma matriz é a própria matriz: A^-1 cdot A = I implies (A^-1)^-1 cdot A^-1 = I implies (A^-1)^-1 = A .
Prova de :
Portanto, .

Passo 12

Também temos que a transposta do inverso é igual ao inverso da transposta: A^T cdot (A^-1)^T = (A^-1 A)^T = I^T = I .
Prova de (A^-1)^T cdot A^T = (A A^-1)^T = I^T = I :
E
Assim, .

Resposta

Prontinho! A gente provou todas as propriedades de soma de matrizes, matrizes transpostas e matrizes inversas. Essas propriedades são fundamentais na álgebra linear e ajudam muito na manipulação e solução de problemas envolvendo matrizes.

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