Provar as propriedades de soma de matrizes, matrizes transpostas e matriz inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar algumas propriedades envolvendo soma de matrizes, matrizes transpostas e matrizes inversas. Isso tudo faz parte da álgebra linear, que é como a gente manipula matrizes para resolver vários tipos de problemas matemáticos. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa somar matrizes, como funciona a transposição delas e o que significa uma matriz inversa.
Passo 2
Propriedades da Soma de Matrizes
Primeiro, vamos falar sobre a soma de matrizes. Somar matrizes é bem simples: a gente soma elemento por elemento. Por exemplo, se temos duas matrizes
e
do mesmo tamanho, a soma
é uma matriz onde cada elemento
.
Uma das primeiras propriedades que a gente tem que provar é a comutatividade, ou seja,
.
Prova da Comutatividade:
Como isso vale para todo elemento
, então
. Fácil, né?
Passo 3
Outra propriedade importante é a associatividade da soma, que diz que
.
Prova da Associatividade:
Então,
. Isso mostra que a soma de matrizes é associativa.
Passo 4
Agora, vamos ver a existência do elemento neutro, que é a matriz zero. Queremos mostrar que existe uma matriz
tal que
.
Prova da Existência do Elemento Neutro:
Então,
. A matriz zero realmente age como elemento neutro na soma de matrizes.
Passo 5
Por último, vamos falar sobre o elemento inverso. Para toda matriz
, existe uma matriz
tal que
.
Prova da Existência do Elemento Inverso:
Logo,
. Assim, cada matriz tem um inverso aditivo na soma de matrizes.
Passo 6
Propriedades das Matrizes Transpostas
Agora vamos para as matrizes transpostas. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando as linhas pelas colunas.
Uma propriedade chave é que a transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas:
.
Prova de
:
Portanto,
.
Passo 7
Outra propriedade é que a transposta de um produto escalar é o produto escalar da transposta:
, onde
é um número real.
Prova de
:
Assim,
.
Passo 8
Também vale que a transposta da transposta retorna a matriz original:
.
Prova de
:
Logo,
.
Passo 9
Além disso, a transposta do produto de duas matrizes segue:
.
Prova de
:
Considerando que é definido, temos:
Considerando que
Portanto,
.
Passo 10
Propriedades das Matrizes Inversas
Agora vamos para as matrizes inversas. Uma matriz
inversível tem uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Primeira propriedade: o inverso do produto de duas matrizes é o produto dos inversos na ordem reversa:
.
Prova de
:
E
Então,
.
Passo 11
Outra propriedade é que o inverso do inverso de uma matriz é a própria matriz:
.
Prova de
:
Portanto,
.
Passo 12
Também temos que a transposta do inverso é igual ao inverso da transposta:
.
Prova de
:
E
Assim,
.
Resposta
Prontinho! A gente provou todas as propriedades de soma de matrizes, matrizes transpostas e matrizes inversas. Essas propriedades são fundamentais na álgebra linear e ajudam muito na manipulação e solução de problemas envolvendo matrizes.