Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de .
, , .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede pra gente encontrar uma base e a dimensão de alguns subespaços e dentro de . Além disso, precisamos descobrir também a base e a dimensão da soma e da interseção . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como encontrar bases e calcular dimensões de subespaços vetoriais definidos por equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base e a dimensão de .
Definição de :
Essa é uma equação linear que relaciona as coordenadas . Para achar uma base, vamos expressar uma das variáveis em função das outras.
Vamos resolver para :
Agora, podemos escrever qualquer vetor em como:
Base de :
Como temos 3 vetores na base, a dimensão de é 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base e a dimensão de .
Definição de :
De novo, uma equação linear. Vamos resolver para uma das variáveis, digamos :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Base de :
Como também temos 3 vetores na base, a dimensão de é 3.

Passo 4

Agora, vamos descobrir uma base e a dimensão de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Primeiro, vamos juntar as bases de e :
Notamos que alguns vetores se repetem. Vamos eliminar os duplicados:
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Após realizar essa verificação (que envolve montar uma matriz e calcular seu posto), constatamos que apenas 4 vetores são necessários para a base.
Base de :
Portanto, a dimensão de é 4.

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar uma base e a dimensão de , que é o conjunto de todos os vetores que estão simultaneamente em e em .
Para isso, vamos resolver o sistema de equações das duas subespaços:
Vamos somar as duas equações:
Agora, substituímos na equação (1):
Então, temos:
Podemos expressar os vetores de como:
Base de :
Como temos 2 vetores na base, a dimensão de é 2.

Resposta

(i) Base de :
Dimensão de : 3
(ii) Base de :
Dimensão de : 3
(iii) Base de :
Dimensão de : 4
(iv) Base de :
Dimensão de : 2

Exercícios relacionados

Sejam e subespaços vetoriais de gerados por e respectivamente.
Determine uma base para os espaços e .
Sejam , . Nos itens abaixo, clacule a matriz indicada (se possível).
(o) ;
Verifique se é perpendicular a nos casos:
Uma fábrica produz três produtos (banheiras, pias e tanques) e os envia par armazenamento em dois depósitos. Os números de unidades enviadas de cada produto para cada depósito é dado pela matriz
(onde é o número de unidades enviadas do produto para o depósito , e os produtos são colocados em ordem alfabética). O custo de remessa de uma unidade de cada produto, por caminhão, é: $ 1,50 por banheira, $1,00 por pia e por tanque. Os custos unitários correspondentes ao envio por trem são: , e . Organize esses custos em uma matriz e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os custos de remessa - por caminhão e por trem - de seus produtos para cada um dos dois depósitos.