Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de . , , .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede pra gente encontrar uma base e a dimensão de alguns subespaços e dentro de . Além disso, precisamos descobrir também a base e a dimensão da soma e da interseção . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como encontrar bases e calcular dimensões de subespaços vetoriais definidos por equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base e a dimensão de .
Definição de :
Essa é uma equação linear que relaciona as coordenadas . Para achar uma base, vamos expressar uma das variáveis em função das outras.
Vamos resolver para :
Agora, podemos escrever qualquer vetor em como:
Base de :
Como temos 3 vetores na base, a dimensão de é 3.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base e a dimensão de .
Definição de :
De novo, uma equação linear. Vamos resolver para uma das variáveis, digamos :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Base de :
Como também temos 3 vetores na base, a dimensão de é 3.
Passo 4
Agora, vamos descobrir uma base e a dimensão de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Primeiro, vamos juntar as bases de e :
Notamos que alguns vetores se repetem. Vamos eliminar os duplicados:
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Após realizar essa verificação (que envolve montar uma matriz e calcular seu posto), constatamos que apenas 4 vetores são necessários para a base.
Base de :
Portanto, a dimensão de é 4.
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar uma base e a dimensão de , que é o conjunto de todos os vetores que estão simultaneamente em e em .
Para isso, vamos resolver o sistema de equações das duas subespaços: