Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de U.
(ii) uma base e a dimensão de W.
(iii) uma base e a dimensão de U+W.
(iv) uma base e a dimensão de U cap W.
U=(x, y, z, t) in R^4 / x-y+t+z=0, W=(x, y, z, t) in R^4 / x+y-t+z=0, V=R^4.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede pra gente encontrar uma base e a dimensão de alguns subespaços e dentro de . Além disso, precisamos descobrir também a base e a dimensão da soma e da interseção . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como encontrar bases e calcular dimensões de subespaços vetoriais definidos por equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base e a dimensão de U = (x, y, z, t) in R^4 | x - y + z + t = 0 .
Definição de x = y - z - t :
(x, y, z, t) = (y - z - t, y, z, t)
Essa é uma equação linear que relaciona as coordenadas = y cdot (1, 1, 0, 0) + z cdot (-1, 0, 1, 0) + t cdot (-1, 0, 0, 1) . Para achar uma base, vamos expressar uma das variáveis em função das outras.
Vamos resolver para , (1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1) , :
Agora, podemos escrever qualquer vetor em como:
Base de :
Como temos 3 vetores na base, a dimensão de é 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base e a dimensão de W = (x, y, z, t) in R^4 | x + y - t + z = 0 .
Definição de x = -y + t - z :
(x, y, z, t) = (-y + t - z, y, z, t)
De novo, uma equação linear. Vamos resolver para uma das variáveis, digamos = y cdot (-1, 1, 0, 0) + z cdot (-1, 0, 1, 0) + t cdot (1, 0, 0, 1) :
, (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) ,
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Base de :
Como também temos 3 vetores na base, a dimensão de é 3.

Passo 4

Agora, vamos descobrir uma base e a dimensão de , (1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1), (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) , , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de , (1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1), (-1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1) , e um vetor de , (1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 1) , .
Primeiro, vamos juntar as bases de e :
Notamos que alguns vetores se repetem. Vamos eliminar os duplicados:
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Após realizar essa verificação (que envolve montar uma matriz e calcular seu posto), constatamos que apenas 4 vetores são necessários para a base.
Base de :
Portanto, a dimensão de é 4.

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar uma base e a dimensão de x - y + z + t = 0 (1) x + y + z - t = 0 (2) , que é o conjunto de todos os vetores que estão simultaneamente em (x - y + z + t) + (x + y + z - t) = 0 + 0 e em 2x + 2z = 0 .
Para isso, vamos resolver o sistema de equações das duas subespaços:
x = -z
Vamos somar as duas equações:
-z - y + z + t = 0
-y + t = 0
y = t
Agora, substituímos x = -z na equação (1):
y = t
(x, y, z, t) = (-z, t, z, t)
= z cdot (-1, 0, 1, 0) + t cdot (0, 1, 0, 1)
Então, temos:
, (-1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1) ,
Podemos expressar os vetores de como:
Base de :
Como temos 2 vetores na base, a dimensão de é 2.

Resposta

(i) Base de , (1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1) , :
, (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) ,
Dimensão de , (1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 1) , : 3
(ii) Base de , (-1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1) , :
Dimensão de : 3
(iii) Base de :
Dimensão de : 4
(iv) Base de :
Dimensão de : 2

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