Sejam U e W subespaços vetoriais de R^4 gerados por R=(1,1,0,-1),(1,2,3,0),(2,3,3,-1) e S=(1,2,2,-2),(2,3,2,-3),(1,3,4,-3) respectivamente.
Determine uma base para os espaços U e W.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e o que vamos precisar saber. Temos dois conjuntos de vetores que geram os subespaços e em . Nosso objetivo é encontrar uma base para cada um desses subespaços. Para isso, vamos usar conceitos de independência linear e espaços vetoriais. Vamos precisar verificar se os vetores que geram e são linearmente independentes e, se não forem, selecionar um subconjunto que forme uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para o subespaço 1 & 1 & 0 & -1 1 & 2 & 3 & 0 2 & 3 & 3 & -1 . O conjunto que gera 1 & 1 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 1 0 & 1 & 3 & 1 é 1 & 1 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 0 .
Para verificar se esses vetores são linearmente independentes, vamos montar uma matriz com eles como linhas e realizar a redução por escalonamento (ou eliminação de Gauss):
Vamos subtrair a primeira linha da segunda e a primeira linha vezes 2 da terceira:
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira:
Vemos que a terceira linha ficou toda de zeros, o que indica que o terceiro vetor é uma combinação linear dos dois primeiros. Portanto, os vetores e são suficientes para formar uma base para .

Passo 3

Agora, vamos determinar uma base para o subespaço 1 & 2 & 2 & -2 2 & 3 & 2 & -3 1 & 3 & 4 & -3 . O conjunto que gera 1 & 2 & 2 & -2 1 & 1 & 0 & -1 0 & 1 & 2 & -1 é 1 & 2 & 2 & -2 0 & -1 & -2 & 1 0 & 1 & 2 & -1 .
Assim como fizemos com 1 & 2 & 2 & -2 0 & 1 & 2 & -1 0 & 1 & 2 & -1 , vamos montar uma matriz com esses vetores e realizar o escalonamento:
1 & 2 & 2 & -2 0 & 1 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 0
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
Agora, subtraímos a primeira linha da segunda:
Vamos multiplicar a segunda linha por -1 para facilitar:
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira:
Novamente, a terceira linha ficou de zeros, indicando que o terceiro vetor é uma combinação dos dois primeiros. Portanto, os vetores e são suficientes para formar uma base para .

Resposta

Uma base para é e uma base para é .

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