Sejam e subespaços vetoriais de gerados por e respectivamente.
Determine uma base para os espaços e .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e o que vamos precisar saber. Temos dois conjuntos de vetores que geram os subespaços e em . Nosso objetivo é encontrar uma base para cada um desses subespaços. Para isso, vamos usar conceitos de independência linear e espaços vetoriais. Vamos precisar verificar se os vetores que geram e são linearmente independentes e, se não forem, selecionar um subconjunto que forme uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para o subespaço . O conjunto que gera é .
Para verificar se esses vetores são linearmente independentes, vamos montar uma matriz com eles como linhas e realizar a redução por escalonamento (ou eliminação de Gauss):
Vamos subtrair a primeira linha da segunda e a primeira linha vezes 2 da terceira:
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira:
Vemos que a terceira linha ficou toda de zeros, o que indica que o terceiro vetor é uma combinação linear dos dois primeiros. Portanto, os vetores e são suficientes para formar uma base para .
Passo 3
Agora, vamos determinar uma base para o subespaço . O conjunto que gera é .
Assim como fizemos com , vamos montar uma matriz com esses vetores e realizar o escalonamento:
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
Agora, subtraímos a primeira linha da segunda:
Vamos multiplicar a segunda linha por -1 para facilitar:
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira:
Novamente, a terceira linha ficou de zeros, indicando que o terceiro vetor é uma combinação dos dois primeiros. Portanto, os vetores e são suficientes para formar uma base para .