Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de .
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial e dois subespaços e . O foco aqui é determinar uma base e a dimensão de , que é definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos precisar mexer com conceitos de espaço vetorial, bases e dimensão. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são **linhasmente independentes** e que **geram** todo o subespaço. A dimensão é simplesmente o número de vetores nessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a condição . Isso define uma relação entre as coordenadas , e dos vetores em . Para encontrar uma base, queremos expressar alguns desses componentes em termos de outros, facilitando a identificação dos vetores que vão gerar todo o subespaço.
Passo 3
Vamos resolver a equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Passo 4
Agora, vamos expressar de uma forma que destaque os coeficientes de e :
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .
Passo 5
Os vetores e são **linhagem independente**, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma **base** para .
Resposta
Uma base para é e a dimensão de é 2.
Exercícios relacionados
No espaço vetorial considere os seguintes subespaços:
Encontre bases para: e (obs: é a derivada de ).
Sejam e .
(a) Mostre que e são subespaços de .
Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .
Mostre que os vetores e de um espaço vetorial são LI se, e somente se, os vetores e também o são.