Dados
subespaços do espaço vetorial
determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de
.
.
uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
e dois subespaços
e
. O foco aqui é determinar uma base e a dimensão de
, que é definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Para resolver isso, vamos precisar mexer com conceitos de espaço vetorial, bases e dimensão. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linhasmente independentes e que geram todo o subespaço. A dimensão é simplesmente o número de vetores nessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a condição
. Isso define uma relação entre as coordenadas
,
e
dos vetores em
. Para encontrar uma base, queremos expressar alguns desses componentes em termos de outros, facilitando a identificação dos vetores que vão gerar todo o subespaço.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar
:
Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
de uma forma que destaque os coeficientes de
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Os vetores
e
são linhagem independente, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para
.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 2.