Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de U.
U=(x, y, z) in R^3 / x+y+z=0, W=(x, y, 0) / x, y in R, V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial e dois subespaços e . O foco aqui é determinar uma base e a dimensão de , que é definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos precisar mexer com conceitos de espaço vetorial, bases e dimensão. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linhasmente independentes e que geram todo o subespaço. A dimensão é simplesmente o número de vetores nessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a condição . Isso define uma relação entre as coordenadas , e dos vetores em . Para encontrar uma base, queremos expressar alguns desses componentes em termos de outros, facilitando a identificação dos vetores que vão gerar todo o subespaço.

Passo 3

Vamos resolver a equação z = -x - y para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como .

Passo 4

Agora, vamos expressar (x, y, -x - y) = x cdot (1, 0, -1) + y cdot (0, 1, -1) de uma forma que destaque os coeficientes de e :
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Os vetores e são linhagem independente, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para .

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 2.

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