No espaço vetorial
considere os seguintes subespaços:
Encontre bases para:
e
(obs:
é a derivada de
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve espaços vetoriais de polinômios. O problema nos dá dois subespaços
e
dentro do espaço dos polinômios de grau até 2,
. Precisamos encontrar bases para
,
e para a interseção desses dois subespaços,
.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que são
e
:
-
: Isso significa que é o conjunto de polinômios cuja derivada é zero. Derivada zero indica que o polinômio é constante, porque a inclinação não muda. -
: Aqui, é o conjunto de polinômios que anulam em e .
Vamos encontrar uma base para cada um desses subespaços.
Passo 3
Base para
:
Como
consiste em polinômios constantes, todo polinômio em
pode ser escrito como
, onde
é uma constante.
Portanto, uma base para
é simplesmente o polinômio constante 1:
Passo 4
Base para
:
Agora, vamos encontrar os polinômios em
que satisfazem
e
.
Um polinômio geral em
tem a forma:
Aplicando as condições:
Da segunda condição, temos
. Então, o polinômio fica:
Isso mostra que todo polinômio em
é um múltiplo de
.
Portanto, uma base para
é:
Passo 5
Base para
:
A interseção
consiste nos polinômios que são constantes (de
) e que também satisfazem
(de
).
Seja
em
. Para estar em
, precisamos que:
Então, a única constante que satisfaz isso é
.
Portanto,
, onde
é o polinômio nulo.
A base para o subespaço nulo é o conjunto vazio, mas para fins práticos, podemos dizer que não há vetores não nulos na base.
Resposta
- Base de
: - Base de
: - Base de
:
Exercícios relacionados
Sejam
e
.
(a) Mostre que e
são subespaços de
.
(a) Mostre que
Determine para quais valores de
o conjunto
não é uma base de
.
Dados
subespaços do espaço vetorial
determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de .
.
uma base e a dimensão de
Seja
um espaço vetorial. Mostre que se
é uma base de
então
também é uma base de
.