No espaço vetorial considere os seguintes subespaços:
Encontre bases para: e (obs: é a derivada de ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve espaços vetoriais de polinômios. O problema nos dá dois subespaços e dentro do espaço dos polinômios de grau até 2, . Precisamos encontrar bases para , e para a interseção desses dois subespaços, .

Passo 2

Vamos começar entendendo o que são e :
  • : Isso significa que é o conjunto de polinômios cuja derivada é zero. Derivada zero indica que o polinômio é constante, porque a inclinação não muda.
  • : Aqui, é o conjunto de polinômios que anulam em e .
Vamos encontrar uma base para cada um desses subespaços.

Passo 3

Base para :
Como consiste em polinômios constantes, todo polinômio em pode ser escrito como , onde é uma constante.
Portanto, uma base para é simplesmente o polinômio constante 1:

Passo 4

Base para :
Agora, vamos encontrar os polinômios em que satisfazem e .
Um polinômio geral em tem a forma:
Aplicando as condições:
Da segunda condição, temos . Então, o polinômio fica:
Isso mostra que todo polinômio em é um múltiplo de .
Portanto, uma base para é:

Passo 5

Base para :
A interseção consiste nos polinômios que são constantes (de ) e que também satisfazem (de ).
Seja em . Para estar em , precisamos que:
Então, a única constante que satisfaz isso é .
Portanto, , onde é o polinômio nulo.
A base para o subespaço nulo é o conjunto vazio, mas para fins práticos, podemos dizer que não há vetores não nulos na base.

Resposta

  • Base de :
  • Base de :
  • Base de :

Exercícios relacionados

Sejam e .
(a) Mostre que e são subespaços de .
Determine para quais valores de o conjunto não é uma base de .
Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de .
.
Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .