No espaço vetorial P2 considere os seguintes subespaços:
W1=p in P2: p^prime(x)=0 e W2=q in P2: q(1)=q(0)=0
Encontre bases para: W1, W2 e W1 cap W2 (obs: p^prime(x) é a derivada de p(x) ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve espaços vetoriais de polinômios. O problema nos dá dois subespaços e dentro do espaço dos polinômios de grau até 2, . Precisamos encontrar bases para , e para a interseção desses dois subespaços, .

Passo 2

Vamos começar entendendo o que são e :
  • : Isso significa que é o conjunto de polinômios cuja derivada é zero. Derivada zero indica que o polinômio é constante, porque a inclinação não muda.
  • : Aqui, é o conjunto de polinômios que anulam em e .
Vamos encontrar uma base para cada um desses subespaços.

Passo 3

Base para Base de W1 = 1 :
Como consiste em polinômios constantes, todo polinômio em pode ser escrito como , onde é uma constante.
Portanto, uma base para é simplesmente o polinômio constante 1:

Passo 4

Base para q(x) = ax^2 + bx + c :
Agora, vamos encontrar os polinômios em q(x) = ax^2 - ax = a(x^2 - x) que satisfazem Base de W2 = x^2 - x e .
Um polinômio geral em tem a forma:
Aplicando as condições:
Da segunda condição, temos . Então, o polinômio fica:
Isso mostra que todo polinômio em é um múltiplo de .
Portanto, uma base para é:

Passo 5

Base para p(0) = c = 0 e p(1) = c = 0 :
A interseção consiste nos polinômios que são constantes (de ) e que também satisfazem (de ).
Seja em . Para estar em , precisamos que:
Então, a única constante que satisfaz isso é .
Portanto, , onde é o polinômio nulo.
A base para o subespaço nulo é o conjunto vazio, mas para fins práticos, podemos dizer que não há vetores não nulos na base.

Resposta

  • Base de :
  • Base de :
  • Base de :

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