Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que se é uma base de um espaço vetorial , então o conjunto também é uma base de . Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases, que são conjuntos de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores em são linearmente independentes e se eles conseguem gerar todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições principais:
Linearmente Independente: Nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Gerar o Espaço: Toda vez que a gente combinar linearmente os vetores da base, a gente consegue chegar a qualquer vetor do espaço.
Então, para mostrar que é uma base de , precisamos verificar essas duas condições para os vetores em .
Passo 3
Vamos começar verificando a linearidade independente. Para isso, montamos uma combinação linear igual a zero:
Vamos distribuir os coeficientes:
Como , e são uma base de (e, portanto, de ), eles são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Resolvendo essas equações:
Da terceira equação, c = 0.
Substituindo c = 0 na segunda equação: -b + 0 = 0 → b = 0.
Substituindo b = 0 e c = 0 na primeira equação: a + 0 + 0 = 0 → a = 0.
Como a única solução é a = b = c = 0, concluímos que os vetores em alpha são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se os vetores em alphageram o espaçoR^3. Sabemos que uma base de R^3 tem exatamente 3 vetores que são linearmente independentes. Já mostramos que alpha tem 3 vetores que são linearmente independentes. Portanto, alpha também geraR^3, já que não faltam nenhum vetor para compor o espaço.
Resposta
Então, concluímos que alpha = u, u - v, u + v + w é também uma base de R^3.