Seja V um espaço vetorial. Mostre que se beta=u, v, w é uma base de V então alpha=u, u-v, u+v+w também é uma base de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que se beta = u, v, w é uma base de um espaço vetorial V, então o conjunto alpha = u, u - v, u + v + w também é uma base de R^3. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases, que são conjuntos de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores em alpha são linearmente independentes e se eles conseguem gerar todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições principais:
  1. Linearmente Independente: Nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar o Espaço: Toda vez que a gente combinar linearmente os vetores da base, a gente consegue chegar a qualquer vetor do espaço.
Então, para mostrar que alpha é uma base de R^3, precisamos verificar essas duas condições para os vetores em alpha.

Passo 3

Vamos começar verificando a linearidade independente. Para isso, montamos uma combinação linear igual a zero:
a cdot u + b cdot (u - v) + c cdot (u + v + w) = 0
Vamos distribuir os coeficientes:
(a + b + c)u + (-b + c)v + c w = 0
Como u, v e w são uma base de V (e, portanto, de R^3), eles são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
a + b + c = 0 -b + c = 0 c = 0
Resolvendo essas equações:
  1. Da terceira equação, c = 0.
  2. Substituindo c = 0 na segunda equação: -b + 0 = 0 b = 0.
  3. Substituindo b = 0 e c = 0 na primeira equação: a + 0 + 0 = 0 a = 0.
Como a única solução é a = b = c = 0, concluímos que os vetores em alpha são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se os vetores em alpha geram o espaço R^3. Sabemos que uma base de R^3 tem exatamente 3 vetores que são linearmente independentes. Já mostramos que alpha tem 3 vetores que são linearmente independentes. Portanto, alpha também gera R^3, já que não faltam nenhum vetor para compor o espaço.

Resposta

Então, concluímos que alpha = u, u - v, u + v + w é também uma base de R^3.

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