Mostre que os vetores
e
de um espaço vetorial
são LI se, e somente se, os vetores
e
também o são.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores
em um espaço vetorial
são linearmente independentes (LI) se e somente se os vetores
também forem LI. A matéria em questão é Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear. Vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como manipular combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Um conjunto de vetores
é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que
.
Passo 3
Vamos começar provando uma direção: se
é LI, então
também é LI.
Passo 4
Suponha que
. Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Como
é LI, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
Da primeira equação, se
, então
. Assim, todos os coeficientes são zero, o que prova que
é LI.
Passo 6
Agora, vamos provar a outra direção: se
é LI, então
também é LI.
Passo 7
Suponha que
. Podemos reescrever
em termos de
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com
:
Passo 8
Como
é LI, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
Da primeira equação, se
, então
. Assim, todos os coeficientes são zero, o que prova que
é LI.
Resposta
Os vetores
são linearmente independentes se e somente se os vetores
também forem linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial. Mostre que se
é uma base de
então
também é uma base de
.
Dados
subespaços do espaço vetorial
determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de .
.
uma base e a dimensão de
Determine para quais valores de
o conjunto
é uma base de
.
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se e
são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é subespaço de
.
(b) Se