Mostre que os vetores e de um espaço vetorial são LI se, e somente se, os vetores e também o são.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores em um espaço vetorial são linearmente independentes (LI) se e somente se os vetores também forem LI. A matéria em questão é Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear. Vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como manipular combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .

Passo 3

Vamos começar provando uma direção: se é LI, então também é LI.

Passo 4

Suponha que . Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com :

Passo 5

Como é LI, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
Da primeira equação, se , então . Assim, todos os coeficientes são zero, o que prova que é LI.

Passo 6

Agora, vamos provar a outra direção: se é LI, então também é LI.

Passo 7

Suponha que . Podemos reescrever em termos de :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com :

Passo 8

Como é LI, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
Da primeira equação, se , então . Assim, todos os coeficientes são zero, o que prova que é LI.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes se e somente se os vetores também forem linearmente independentes.

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Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .
Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de .
.
Determine para quais valores de o conjunto é uma base de .
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se e são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é subespaço de .