Mostre que os vetores v1, v2, v3 e v4 de um espaço vetorial V são LI se, e somente se, os vetores v1, v2-v1, v3-v1 e v4-v1 também o são.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores em um espaço vetorial são linearmente independentes (LI) se e somente se os vetores também forem LI. A matéria em questão é Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear. Vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como manipular combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .

Passo 3

Vamos começar provando uma direção: se é LI, então também é LI.

Passo 4

Suponha que a1v1 + a2v2 - a2v1 + a3v3 - a3v1 + a4v4 - a4v1 = 0 . Vamos simplificar essa expressão:
(a1 - a2 - a3 - a4)v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0
Agrupando os termos com :

Passo 5

Como a1 - a2 - a3 - a4 = 0 a2 = 0 a3 = 0 a4 = 0 é LI, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
Da primeira equação, se , então . Assim, todos os coeficientes são zero, o que prova que é LI.

Passo 6

Agora, vamos provar a outra direção: se é LI, então também é LI.

Passo 7

Suponha que v2 = (v2 - v1) + v1 v3 = (v3 - v1) + v1 v4 = (v4 - v1) + v1 . Podemos reescrever b1v1 + b2[(v2 - v1) + v1] + b3[(v3 - v1) + v1] + b4[(v4 - v1) + v1] = 0 em termos de b1v1 + b2(v2 - v1) + b2v1 + b3(v3 - v1) + b3v1 + b4(v4 - v1) + b4v1 = 0 :
(b1 + b2 + b3 + b4)v1 + b2(v2 - v1) + b3(v3 - v1) + b4(v4 - v1) = 0
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com :

Passo 8

Como b1 + b2 + b3 + b4 = 0 b2 = 0 b3 = 0 b4 = 0 é LI, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
Da primeira equação, se , então . Assim, todos os coeficientes são zero, o que prova que é LI.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes se e somente se os vetores também forem linearmente independentes.

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