Dados e subespaços vetoriais de . Mostre que . (Lembre-se: Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial . Dizemos que é a soma direta de e se . Utiliza-se a notação para representar . Neste caso, qualquer vetor de deve ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de de forma única).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e soma direta. A gente precisa mostrar que o espaço tridimensional pode ser decomposto como a soma direta dos subespaços e . Para isso, vamos precisar entender o que significa soma direta e como verificar se dois subespaços somam o espaço todo e têm interseção trivial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os subespaços e dados no problema:
  • : Esse é um plano no espaço tridimensional onde a soma das coordenadas é zero.
  • : Esse é o eixo , ou seja, todos os vetores que têm apenas a coordenada diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a soma dos subespaços é igual a todo o espaço . Para isso, pegamos um vetor qualquer e mostramos que ele pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Vamos supor que:

onde e .
Como é o eixo , temos e , onde é algum número real.
Então:
Para que isso seja igual a , devemos ter:
Como , temos que . Substituindo os valores:
Então, .
Portanto, qualquer vetor pode ser escrito como:

onde e .
Isso mostra que .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a interseção entre e é apenas o vetor nulo, ou seja, . Isso significa que o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero.
Vamos supor que exista um vetor que está em . Então:
  • Como está em , temos .
  • Como está em , a condição se aplica. Com , temos .
Portanto, o único vetor comum a e é .

Resposta

Assim, como e , concluímos que .

Exercícios relacionados

Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de :
Para quais valores de os vetores e formam um conjunto linearmente dependente (LD) em .
Responda e justifique. Além disso, interprete geometricamente: é LI?
Seja e Determine e tais que não esteja em . Isso é suficiente para que com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar não seja um subespaço vetorial do . Explique.