Dados
e
subespaços vetoriais de
. Mostre que
. (Lembre-se: Sejam
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
. Dizemos que
é a soma direta de
e
se
. Utiliza-se a notação
para representar
. Neste caso, qualquer vetor de
deve ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
de forma única).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e soma direta. A gente precisa mostrar que o espaço tridimensional
pode ser decomposto como a soma direta dos subespaços
e
. Para isso, vamos precisar entender o que significa soma direta e como verificar se dois subespaços somam o espaço todo e têm interseção trivial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os subespaços
e
dados no problema:
-
: Esse é um plano no espaço tridimensional onde a soma das coordenadas é zero. -
: Esse é o eixo , ou seja, todos os vetores que têm apenas a coordenada diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a soma dos subespaços
é igual a todo o espaço
. Para isso, pegamos um vetor qualquer
e mostramos que ele pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Vamos supor que:
onde
Como
é o eixo
, temos
e
, onde
é algum número real.
Então:
Para que isso seja igual a
, devemos ter:
Como
, temos que
. Substituindo os valores:
Então,
.
Portanto, qualquer vetor
pode ser escrito como:
onde
Isso mostra que
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a interseção entre
e
é apenas o vetor nulo, ou seja,
. Isso significa que o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero.
Vamos supor que exista um vetor
que está em
. Então:
- Como está em
, temos . - Como está em
, a condição se aplica. Com , temos .
Portanto, o único vetor comum a
e
é
.
Resposta
Assim, como
e
, concluímos que
.
Exercícios relacionados
Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de
:
Para quais valores de
os vetores
e
formam um conjunto linearmente dependente (LD) em
.
Responda e justifique. Além disso, interprete geometricamente:
é LI?
Seja
e
Determine
e
tais que
não esteja em
. Isso é suficiente para que
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar não seja um subespaço vetorial do
. Explique.