Dados U=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0 e W=(x, y, z) in R^3 ; x=y=0 subespaços vetoriais de R^3. Mostre que R^3=U oplus W. (Lembre-se: Sejam U e W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Dizemos que U+W é a soma direta de U e W se U cap W=0. Utiliza-se a notação U oplus W para representar U+W. Neste caso, qualquer vetor de V deve ser escrito como a soma de um vetor de U e um vetor de W de forma única).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e soma direta. A gente precisa mostrar que o espaço tridimensional R^3 pode ser decomposto como a soma direta dos subespaços U e W. Para isso, vamos precisar entender o que significa soma direta e como verificar se dois subespaços somam o espaço todo e têm interseção trivial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os subespaços U e W dados no problema:
  • U = (x, y, z) in R^3 ; x + y + z = 0: Esse é um plano no espaço tridimensional onde a soma das coordenadas é zero.
  • W = (x, y, z) in R^3 ; x = y = 0: Esse é o eixo z, ou seja, todos os vetores que têm apenas a coordenada z diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a soma dos subespaços U + W é igual a todo o espaço R^3. Para isso, pegamos um vetor qualquer (a, b, c) in R^3 e mostramos que ele pode ser escrito como a soma de um vetor de U e um vetor de W.
Vamos supor que:
(a, b, c) = (u1, u2, u3) + (w1, w2, w3)
onde (u1, u2, u3) in U e (w1, w2, w3) in W.
Como W é o eixo z, temos w1 = w2 = 0 e w3 = k, onde k é algum número real.
Então:
(a, b, c) = (u1, u2, u3) + (0, 0, k) = (u1, u2, u3 + k)
Para que isso seja igual a (a, b, c), devemos ter:
u1 = a
u2 = b
u3 + k = c
Como (u1, u2, u3) in U, temos que u1 + u2 + u3 = 0. Substituindo os valores:
a + b + u3 = 0 Rightarrow u3 = -a - b
Então, k = c - u3 = c - (-a - b) = c + a + b.
Portanto, qualquer vetor (a, b, c) pode ser escrito como:
(a, b, c) = (a, b, -a - b) + (0, 0, a + b + c)
onde (a, b, -a - b) in U e (0, 0, a + b + c) in W.
Isso mostra que U + W = R^3.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a interseção entre U e W é apenas o vetor nulo, ou seja, U cap W = 0. Isso significa que o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero.
Vamos supor que exista um vetor (x, y, z) que está em U cap W. Então:
  • Como está em W, temos x = y = 0.
  • Como está em U, a condição x + y + z = 0 se aplica. Com x = y = 0, temos z = 0.
Portanto, o único vetor comum a U e W é (0, 0, 0).

Resposta

Assim, como U + W = R^3 e U cap W = 0, concluímos que R^3 = U oplus W.

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