Responda e justifique. Além disso, interprete geometricamente: é LI?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se os vetores e no espaço tridimensional são linearmente independentes (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como a gente verifica isso na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes. Dois vetores são LI se a única combinação linear deles que dá o vetor zero é quando ambos os coeficientes dessa combinação são zero. Em outras palavras, se só tem solução e , então os vetores são LI.
Passo 3
Então, vamos montar essa combinação linear:
Isso dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, 2b = 0, então b = 0. Substituindo b = 0 na primeira equação, temos a + 0 = 0, ou seja, a = 0. Agora, na terceira equação, substituindo a = 0 e b = 0, também fica 0 = 0, que já está satisfeito.
Passo 5
Como a única solução para o sistema é a = 0 e b = 0, isso significa que os vetores (1,0,-2) e (1,2,-1) são linearmente independentes. Não existe outra combinação linear que resulte no vetor zero além da trivial.
Passo 6
Agora, vamos interpretar geometricamente. No espaço tridimensional, dois vetores linearmente independentes formam um plano. Isso quer dizer que os vetores (1,0,-2) e (1,2,-1) não estão na mesma direção ou uma é múltiplo da outra; eles “se estendem” em direções diferentes, preenchendo um plano no espaço.
Resposta
Os vetores (1,0,-2) e (1,2,-1) são linearmente independentes em R^3, e geometricamente eles definem um plano no espaço tridimensional.