Responda e justifique. Além disso, interprete geometricamente: (1,0,-2),(1,2,-1) subset R^3 é LI?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se os vetores (1,0,-2) e (1,2,-1) no espaço tridimensional R^3 são linearmente independentes (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como a gente verifica isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes. Dois vetores são LI se a única combinação linear deles que dá o vetor zero é quando ambos os coeficientes dessa combinação são zero. Em outras palavras, se a(1,0,-2) + b(1,2,-1) = (0,0,0) só tem solução a = 0 e b = 0, então os vetores são LI.

Passo 3

Então, vamos montar essa combinação linear:
a(1, 0, -2) + b(1, 2, -1) = (0, 0, 0)
Isso dá o sistema de equações:
a + b = 0 0a + 2b = 0 -2a - b = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, 2b = 0, então b = 0. Substituindo b = 0 na primeira equação, temos a + 0 = 0, ou seja, a = 0. Agora, na terceira equação, substituindo a = 0 e b = 0, também fica 0 = 0, que já está satisfeito.

Passo 5

Como a única solução para o sistema é a = 0 e b = 0, isso significa que os vetores (1,0,-2) e (1,2,-1) são linearmente independentes. Não existe outra combinação linear que resulte no vetor zero além da trivial.

Passo 6

Agora, vamos interpretar geometricamente. No espaço tridimensional, dois vetores linearmente independentes formam um plano. Isso quer dizer que os vetores (1,0,-2) e (1,2,-1) não estão na mesma direção ou uma é múltiplo da outra; eles “se estendem” em direções diferentes, preenchendo um plano no espaço.

Resposta

Os vetores (1,0,-2) e (1,2,-1) são linearmente independentes em R^3, e geometricamente eles definem um plano no espaço tridimensional.

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