Responda e justifique. Além disso, interprete geometricamente: é LI?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se os vetores e no espaço tridimensional são linearmente independentes (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como a gente verifica isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes. Dois vetores são LI se a única combinação linear deles que dá o vetor zero é quando ambos os coeficientes dessa combinação são zero. Em outras palavras, se só tem solução e , então os vetores são LI.

Passo 3

Então, vamos montar essa combinação linear:
Isso dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, , então . Substituindo na primeira equação, temos , ou seja, . Agora, na terceira equação, substituindo e , também fica , que já está satisfeito.

Passo 5

Como a única solução para o sistema é e , isso significa que os vetores e são linearmente independentes. Não existe outra combinação linear que resulte no vetor zero além da trivial.

Passo 6

Agora, vamos interpretar geometricamente. No espaço tridimensional, dois vetores linearmente independentes formam um plano. Isso quer dizer que os vetores e não estão na mesma direção ou uma é múltiplo da outra; eles “se estendem” em direções diferentes, preenchendo um plano no espaço.

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes em , e geometricamente eles definem um plano no espaço tridimensional.

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Dados e subespaços vetoriais de . Mostre que . (Lembre-se: Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial . Dizemos que é a soma direta de e se . Utiliza-se a notação para representar . Neste caso, qualquer vetor de deve ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de de forma única).
Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de :
Seja e Determine e tais que não esteja em . Isso é suficiente para que com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar não seja um subespaço vetorial do . Explique.
Seja um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Se o conjunto é igual a sem um vetor, então é LI? é LD? ou pode ser LD? Justifique sua resposta.