Para quais valores de k os vetores v1=(k,-1 / 2,-1 / 2), v2=(-1 / 2, k,-1 / 2) e v3=(-1 / 2,-1 / 2, k) formam um conjunto linearmente dependente (LD) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
v1 = (k, -12, -12), v2 = (-12, k, -12), v3 = (-12, -12, k)
A questão quer saber para quais valores de k esses vetores são linearmente dependentes (LD). Isso significa que existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são LD.

Passo 2

Primeiro, vamos formar uma matriz com os vetores v1, v2 e v3 como suas colunas:
A = k & -12 & -12 -12 & k & -12 -12 & -12 & k
Nossa missão é calcular o determinante dessa matriz e encontrar os valores de k que fazem com que esse determinante seja igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A. Para uma matriz 3 times 3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, usaremos a regra de Sarrus:
det(A) = k cdot det k & -12 -12 & k - (-12) cdot det -12 & -12 -12 & k + (-12) cdot det -12 & k -12 & -12
Vamos calcular cada um desses determinantes menores.

Passo 4

Calculando os determinantes menores:
  1. Primeiro determinante:
det k & -12 -12 & k = k cdot k - (-12) cdot (-12) = k^2 - 14
  1. Segundo determinante:
det -12 & -12 -12 & k = (-12) cdot k - (-12) cdot (-12) = -k2 - 14
  1. Terceiro determinante:
det -12 & k -12 & -12 = (-12) cdot (-12) - k cdot (-12) = 14 + k2

Passo 5

Substituindo esses valores no determinante original:
det(A) = k cdot (k^2 - 14) - (-12) cdot (-k2 - 14) + (-12) cdot (14 + k2)
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
k cdot (k^2 - 14) = k^3 - k4
  1. Segundo termo:
-(-12) cdot (-k2 - 14) = 12 cdot (k2 + 14) = k4 + 18
  1. Terceiro termo:
-12 cdot (14 + k2) = -18 - k4

Passo 6

Agora, somamos todos os termos:
det(A) = (k^3 - k4) + (k4 + 18) + (-18 - k4)
Simplificando:
det(A) = k^3 - k4 + k4 + 18 - 18 - k4
Os termos k4 e -k4 se cancelam, assim como 18 e -18:
det(A) = k^3 - k4

Passo 7

Fatorando k:
det(A) = k(k^2 - 14)
Podemos fatorar mais:
k(k - 12)(k + 12)

Passo 8

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
k(k - 12)(k + 12) = 0
Isso acontece quando qualquer fator for zero:
  1. k = 0
  2. k - 12 = 0 Rightarrow k = 12
  3. k + 12 = 0 Rightarrow k = -12

Resposta

Os valores de k que fazem os vetores serem linearmente dependentes são:
k = 0, k = 12, e k = -12

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