Para quais valores de os vetores e formam um conjunto linearmente dependente (LD) em .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional :
A questão quer saber para quais valores de esses vetores são linearmente dependentes (LD). Isso significa que existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são LD.
Passo 2
Primeiro, vamos formar uma matriz com os vetores , e como suas colunas:
Nossa missão é calcular o determinante dessa matriz e encontrar os valores de que fazem com que esse determinante seja igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz . Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, usaremos a regra de Sarrus:
Vamos calcular cada um desses determinantes menores.
Passo 4
Calculando os determinantes menores:
Primeiro determinante:
Segundo determinante:
Terceiro determinante:
Passo 5
Substituindo esses valores no determinante original:
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 6
Agora, somamos todos os termos:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, assim como e :
Passo 7
Fatorando :
Podemos fatorar mais:
Passo 8
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
Isso acontece quando qualquer fator for zero:
Resposta
Os valores de que fazem os vetores serem linearmente dependentes são: