Seja W=(x, y) in R^2 ; x>0 e y>0 Determine u in W e alpha in R tais que alpha u não esteja em W. Isso é suficiente para que W com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar não seja um subespaço vetorial do R^2. Explique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto . A questão quer que encontremos um vetor em e um número real tal que não esteja mais em . Isso vai nos ajudar a mostrar que , com as operações normais de soma e multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e as condições que ele deve satisfazer. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar essas condições para .

Passo 2

Primeiro, vamos testar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Mas o conjunto só inclui vetores onde e . Como não é maior que zero, não está em . Isso já nos dá uma pista de que pode não ser um subespaço vetorial.

Passo 3

Mesmo que o vetor zero já não esteja em alpha u = -1 cdot (1, 1) = (-1, -1) , vamos seguir com o que a questão pede: encontrar um vetor em e um escalar tal que não esteja em .
Vamos escolher . Esse vetor está em porque e .
Agora, vamos escolher . Multiplicando por , temos:

Passo 4

Agora, vamos verificar se está em . Para estar em , ambos os componentes devem ser maiores que zero. Mas , então não está em .

Passo 5

Isso mostra que, ao multiplicar um vetor de por um escalar negativo, o resultado não pertence a . Ou seja, não é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Além disso, como vimos no Passo 2, o vetor zero não está em , o que já viola uma das condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

Resposta

Portanto, escolhendo e , temos que não pertence a . Isso prova que não é um subespaço vetorial de .

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