Seja
e
Determine
e
tais que
não esteja em
. Isso é suficiente para que
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar não seja um subespaço vetorial do
. Explique.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
. A questão quer que encontremos um vetor
em
e um número real
tal que
não esteja mais em
. Isso vai nos ajudar a mostrar que
, com as operações normais de soma e multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e as condições que ele deve satisfazer. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se:
- O vetor zero de
está em . - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 2
Primeiro, vamos testar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Mas o conjunto
só inclui vetores onde
e
. Como
não é maior que zero,
não está em
. Isso já nos dá uma pista de que
pode não ser um subespaço vetorial.
Passo 3
Mesmo que o vetor zero já não esteja em
, vamos seguir com o que a questão pede: encontrar um vetor
em
e um escalar
tal que
não esteja em
.
Vamos escolher
. Esse vetor está em
porque
e
.
Agora, vamos escolher
. Multiplicando
por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
está em
. Para estar em
, ambos os componentes devem ser maiores que zero. Mas
, então
não está em
.
Passo 5
Isso mostra que, ao multiplicar um vetor de
por um escalar negativo, o resultado não pertence a
. Ou seja,
não é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Além disso, como vimos no Passo 2, o vetor zero não está em
, o que já viola uma das condições necessárias para
ser um subespaço vetorial.
Resposta
Portanto, escolhendo
e
, temos que
não pertence a
. Isso prova que
não é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Responda e justifique. Além disso, interprete geometricamente:
é LI?
Dados
e
subespaços vetoriais de
. Mostre que
. (Lembre-se: Sejam
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
. Dizemos que
é a soma direta de
e
se
. Utiliza-se a notação
para representar
. Neste caso, qualquer vetor de
deve ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
de forma única).
Seja
um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Se o conjunto
é igual a
sem um vetor, então
é LI?
é LD? ou
pode ser LD? Justifique sua resposta.
Dados os vetores
, calcular: