Num paralelogramo sabe-se que e que as diagonais são e . Calcule as coordenadas dos outros vértices.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um paralelogramo no espaço! O problema nos dá as coordenadas de um vértice e os vetores das diagonais e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos outros três vértices , e desse paralelogramo. Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores e propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a coordenada do vértice . Sabemos que o vetor vai do ponto até o ponto . Para achar , basta adicionar esse vetor às coordenadas de .
Então, .

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade chave dos paralelogramos: as diagonais se cortam na metade. Isso significa que o ponto médio da diagonal é igual ao ponto médio da diagonal .
Primeiro, encontramos o ponto médio de :
é

Passo 4

Sabendo que o ponto médio de também é , vamos expressar as coordenadas de em termos de . O vetor indica que:
O ponto médio de será:
Igualando aos valores do ponto médio de :
Portanto, e, substituindo em :

Resposta

Os outros vértices do paralelogramo são:

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Seja . Defina a transformação linear .
(b) Mostre que não é sobrejetora e encontre um vetor de que não está na imagem de .
Dados e e vetores em e , mostre as seguintes propriedades:
Seja uma matriz simétrica.
Sabendo-se e são os únicos autovalores de e que e são autovetores associados , encontre, se existir, uma matriz ortogonal que diagonalize .
Verifique se o conjunto com as operações indicadas é um subespaço vetorial de :
com as operações usuais.