Num paralelogramo sabe-se que e que as diagonais são (4,2,-3) e B D=(-2,0,1). Calcule as coordenadas dos outros vértices.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um paralelogramo no espaço! O problema nos dá as coordenadas de um vértice e os vetores das diagonais e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos outros três vértices , e desse paralelogramo. Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores e propriedades dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a coordenada do vértice C = A + AC = (1+4, 3+2, -2+(-3)) = (5, 5, -5) . Sabemos que o vetor vai do ponto até o ponto . Para achar , basta adicionar esse vetor às coordenadas de .
Então, .
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade chave dos paralelogramos: as diagonais se cortam na metade. Isso significa que o ponto médio da diagonal Ponto Médio = ( 1+52, 3+52, -2+(-5)2 ) = (3, 4, -3.5) é igual ao ponto médio da diagonal .
Primeiro, encontramos o ponto médio de :
é
Passo 4
Sabendo que o ponto médio de D = B + BD = (x-2, y, z+1) também é ( x + (x-2)2, y + y2, z + (z+1)2 ) = (x-1, y, z+0.5) , vamos expressar as coordenadas de x - 1 = 3 Rightarrow x = 4 em termos de y = 4 . O vetor z + 0.5 = -3.5 Rightarrow z = -4 indica que: