Num paralelogramo A B C D sabe-se que A(1,3,-2) e que as diagonais são A C= (4,2,-3) e B D=(-2,0,1). Calcule as coordenadas dos outros vértices.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um paralelogramo no espaço! O problema nos dá as coordenadas de um vértice e os vetores das diagonais e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos outros três vértices , e desse paralelogramo. Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores e propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a coordenada do vértice C = A + AC = (1+4, 3+2, -2+(-3)) = (5, 5, -5) . Sabemos que o vetor vai do ponto até o ponto . Para achar , basta adicionar esse vetor às coordenadas de .
Então, .

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade chave dos paralelogramos: as diagonais se cortam na metade. Isso significa que o ponto médio da diagonal Ponto Médio = ( 1+52, 3+52, -2+(-5)2 ) = (3, 4, -3.5) é igual ao ponto médio da diagonal .
Primeiro, encontramos o ponto médio de :
é

Passo 4

Sabendo que o ponto médio de D = B + BD = (x-2, y, z+1) também é ( x + (x-2)2, y + y2, z + (z+1)2 ) = (x-1, y, z+0.5) , vamos expressar as coordenadas de x - 1 = 3 Rightarrow x = 4 em termos de y = 4 . O vetor z + 0.5 = -3.5 Rightarrow z = -4 indica que:
D = (4-2, 4, -4+1) = (2,4,-3)
O ponto médio de será:
Igualando aos valores do ponto médio de :
Portanto, e, substituindo em :

Resposta

Os outros vértices do paralelogramo são:

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