Seja . Defina a transformação linear .
(b) Mostre que não é sobrejetora e encontre um vetor de que não está na imagem de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear! A gente tem uma matriz e define a transformação linear . O que precisamos fazer aqui é mostrar que não é sobrejetora, ou seja, nem todo vetor em tem uma pré-imagem em através de . Além disso, precisamos encontrar um vetor específico que não está na imagem de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, transformações lineares e conceitos de imagem e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é sobrejetora se para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em termos de matrizes, isso significa que a matriz precisa ter posto completo, ou seja, o número de colunas deve ser igual ao número de linhas (o que aqui não é o caso, já que é , mas ainda assim vamos verificar o posto para ter certeza).
Passo 3
Vamos calcular o posto da matriz . O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes. Para isso, podemos colocar a matriz em forma escalonada usando operações elementares. Vamos fazer isso:
Primeiro, mantemos a primeira linha como está. Em seguida, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (o 1 na posição (1,1)) na terceira linha:
Agora, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas. Vamos dividir a segunda linha por 2 para facilitar:
E vamos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna da terceira linha:
Agora, a matriz está em forma escalonada:
Passo 5
Observando a forma escalonada, vemos que há dois pivôs (as posições com 1). Isso significa que o posto da matriz é 2. Mas como é uma matriz , para ser sobrejetora, o posto precisaria ser 3. Como o posto é menor que o número de linhas, não é sobrejetora.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar um vetor que não está na imagem de . Como o posto de é 2, a imagem de é um subespaço de com dimensão 2. Para encontrar um vetor que não está na imagem, podemos resolver o sistema e escolher um para o qual esse sistema não tem solução.
Usando a forma escalonada da matriz :
Para que o sistema tenha solução, é necessário que . Portanto, qualquer vetor com não está na imagem de .
Resposta
A transformação linear não é sobrejetora porque o posto da matriz é 2, menor que o número de dimensões alvo (3). Um exemplo de vetor que não está na imagem de é .