Seja A=[ccc1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & -7 & -2]. Defina a transformação linear T(x)=A x.
(b) Mostre que T não é sobrejetora e encontre um vetor de R^3 que não está na imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear! A gente tem uma matriz e define a transformação linear . O que precisamos fazer aqui é mostrar que não é sobrejetora, ou seja, nem todo vetor em tem uma pré-imagem em através de . Além disso, precisamos encontrar um vetor específico que não está na imagem de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, transformações lineares e conceitos de imagem e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é sobrejetora se para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em termos de matrizes, isso significa que a matriz precisa ter posto completo, ou seja, o número de colunas deve ser igual ao número de linhas (o que aqui não é o caso, já que é , mas ainda assim vamos verificar o posto para ter certeza).

Passo 3

Vamos calcular o posto da matriz A = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & -7 & -2 . O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes. Para isso, podemos colocar a matriz em forma escalonada usando operações elementares. Vamos fazer isso:
R3 = R3 - 3 times R1
Primeiro, mantemos a primeira linha como está. Em seguida, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (o 1 na posição (1,1)) na terceira linha:
R3 = [3, -7, -2] - 3 times [1, -1, 0] = [3 - 3, -7 + 3, -2 - 0] = [0, -4, -2]
1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 0 & -4 & -2
Agora, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas. Vamos dividir a segunda linha por 2 para facilitar:
R2 = 12 R2 = [0, 1, 0.5]
E vamos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna da terceira linha:
R3 = R3 + 4 times R2 = [0, -4, -2] + 4 times [0, 1, 0.5] = [0, 0, -2 + 2] = [0, 0, 0]
Agora, a matriz está em forma escalonada:
1 & -1 & 0 0 & 1 & 0.5 0 & 0 & 0

Passo 5

Observando a forma escalonada, vemos que há dois pivôs (as posições com 1). Isso significa que o posto da matriz é 2. Mas como é uma matriz , para ser sobrejetora, o posto precisaria ser 3. Como o posto é menor que o número de linhas, não é sobrejetora.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar um vetor que não está na imagem de x1 - x2 = b1 x2 + 0.5 x3 = b2 0 = b3 . Como o posto de é 2, a imagem de é um subespaço de com dimensão 2. Para encontrar um vetor que não está na imagem, podemos resolver o sistema e escolher um para o qual esse sistema não tem solução.
Usando a forma escalonada da matriz :
Para que o sistema tenha solução, é necessário que . Portanto, qualquer vetor com não está na imagem de .

Resposta

A transformação linear 0 0 1 não é sobrejetora porque o posto da matriz é 2, menor que o número de dimensões alvo (3). Um exemplo de vetor que não está na imagem de é .

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