Determine a solução do sistema abaixo:
l x+2 y+5 z-2 w=1 -x+3 y-z+2 w=0 -x+4 y+3 z=0 2 x-2 y+2 z-2 w=1

Passo 1

Beleza, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas: , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de eliminação, que consiste em manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez, facilitando assim a resolução.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações para facilitar a visualização:
x + 2y + 5z - 2w = 1 (Equação 1) - x + 3y - z + 2w = 0 (Equação 2) - x + 4y + 3z = 0 (Equação 3) 2x - 2y + 2z - 2w = 1 (Equação 4) çãçãçãçã

Passo 3

Nosso primeiro passo é eliminar a variável x = 1 - 2y - 5z + 2w das Equações 2, 3 e 4. Para isso, vamos utilizar a Equação 1 para expressar em termos de , e .
Da Equação 1:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de - (1 - 2y - 5z + 2w) + 3y - z + 2w = 0 nas Equações 2, 3 e 4 para eliminar -1 + 2y + 5z - 2w + 3y - z + 2w = 0 (2y + 3y) + (5z - z) + (-2w + 2w) -1 = 0 5y + 4z -1 = 0 5y + 4z = 1 (Equação 2') :
Substituindo na Equação 2:
Simplificando:
çã

Passo 5

Substituindo na Equação 3:
- (1 - 2y - 5z + 2w) + 4y + 3z = 0
Simplificando:
-1 + 2y + 5z - 2w + 4y + 3z = 0 (2y + 4y) + (5z + 3z) -2w -1 = 0 6y + 8z -2w -1 = 0 6y + 8z -2w =1 (Equação 3') çã

Passo 6

Substituindo na Equação 4:
2(1 - 2y - 5z + 2w) -2y + 2z -2w = 1
Simplificando:
2 -4y -10z +4w -2y +2z -2w =1 (-4y -2y) + (-10z +2z) + (4w -2w) +2 =1 -6y -8z +2w +2 =1 -6y -8z +2w = -1 (Equação 4') çã

Passo 7

Agora, temos um sistema reduzido com 3 equações:
5y + 4z = 1 (Equação 2') 6y + 8z -2w =1 (Equação 3') -6y -8z +2w = -1 (Equação 4') çãçãçã
Observamos que as Equações 3’ e 4’ são semelhantes. Podemos somá-las para eliminar (6y + 8z -2w) + (-6y -8z +2w) = 1 + (-1) 0y +0z +0w =0 :
Isso nos mostra que as Equações 3’ e 4’ são dependentes, ou seja, representam a mesma informação. Portanto, podemos considerar apenas as Equações 2’ e 3’ para continuar.

Passo 8

Vamos resolver o sistema com as Equações 2’ e 3’:
5y + 4z = 1 (Equação 2') 6y + 8z -2w =1 (Equação 3') çãçã
Primeiro, vamos resolver a Equação 2’ para uma das variáveis. Vamos resolver para 5y = 1 - 4z y = 1 - 4z5 :

Passo 9

Agora, substituímos 6(1 - 4z5) + 8z -2w =1 na Equação 3’ para encontrar 6 -24z5 +8z -2w =1 :
6 -24z +40z -10w =5 (6) + ( -24z +40z) + (-10w) =5 6 +16z -10w =5 16z -10w = -1 (Equação 3'')
Multiplicando:
Multiplicando todos os termos por 5 para eliminar o denominador:
çã

Passo 10

Podemos simplificar a Equação 3’’ dividindo todos os termos por 2:
8z -5w = -12 (Equação 5) çã
Agora, temos:
y = 1 - 4z5 8z -5w = -12
Precisamos de mais uma equação para resolver e . Vamos utilizar a Equação 1, que relaciona todas as variáveis.

Passo 11

Relembrando a Equação 1 substituída para x = 1 - 2y -5z +2w :
x = 1 - 2(1 -4z5) -5z +2w x =1 - 2 -8z5 -5z +2w x =1 - 25 + 8z5 -5z +2w x = 55 - 25 + (8z5 - 25z5) +2w x = 35 - 17z5 +2w
Substituímos :
Agora, temos em termos de e .

Passo 12

Agora, retornando à Equação 5:
8z -5w = -12
Vamos tentar expressar -5w = -12 -8z w = 8z + 125 w = 16z +110 em termos de :

Passo 13

Agora, substituímos 8z -5(16z +110) = -12 na Equação 5 para encontrar 8z - 80z +510 = -12 :
80z -80z -5 = -5 -5 = -5
Multiplicando:
Multiplicando todos os termos por 10 para eliminar os denominadores:
Isso indica que há infinitas soluções para . Portanto, podemos atribuir um valor livre para , por exemplo, , onde é um número real qualquer.

Passo 14

Expressando todas as variáveis em termos de z = t w = 16t +110 y = 1 -4t5 x = 35 - 17t5 +2(16t +110) :
x = 35 - 17t5 + 32t +210 x = 610 - 34t10 + 32t +210 x = 6 + (-34t) +32t +210 x = 8 -2t10 x = 4 -t5
Simplificando :

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x = 4 - t5 y = 1 -4t5 z = t w = 16t +110 onde t in R

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