Um plano contém as retas e Determine a equação do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que encontrar a equação de um plano que contém duas retas dadas. Isso está relacionado à geometria analítica, especificamente no estudo de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas, calcular o vetor normal ao plano e, por fim, usar essas informações para montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas que temos:
Para a reta :
Podemos parametrizar essa reta escolhendo uma variável como parâmetro. Vamos chamar de parâmetro.
Para a reta :
Aqui também podemos expressar e em termos de , usando um parâmetro .
Passo 3
Vamos parametrizar as duas retas para extrair seus vetores diretores.
Para a reta :
Resolvendo:
(x, y, z) = (-t2, -3t, t2 - 12)
Então, podemos expressar x = -z = t z = t y = -6t + 3 como:
(x, y, z) = (t, -6t + 3, t)
O vetor diretor de é .
Para a reta :
Então, podemos expressar como:
O vetor diretor de é .
Passo 4
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos encontrar o vetor normal ao plano que contém essas retas. Para isso, calculamos o produto vetorial dos vetores diretores n = vr times vs = i & j & k -12 & -3 & 12 1 & -6 & 1 e n = i ( -3 cdot 1 - (-6) cdot 12 ) - j ( -12 cdot 1 - 1 cdot 12 ) + k ( -12 cdot (-6) - (-3) cdot 1 ) .
Calculando o produto vetorial:
n = i (-3 + 3) - j ( -12 - 12 ) + k ( 3 + 3 )
n = (0)i - (-1)j + 6k = j + 6k
Então, o vetor normal é .
Passo 5
Com o vetor normal (x, y, z) = (0, 3, 0) e um ponto que pertence ao plano, podemos escrever a equação do plano. Vamos pegar um ponto de uma das retas, por exemplo, da reta n cdot (r - r0) = 0 quando 0(x - 0) + 1(y - 3) + 6(z - 0) = 0 :