Dados v1=(-1,2,3) e v2=(3,4,2) e x=(2,6,6) e y=(-9,-2,5) responda:
y in[v1, v2] ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo qual é a questão. A gente tem dois vetores, v1 = (-1, 2, 3) e v2 = (3, 4, 2), e um vetor y = (-9, -2, 5). A pergunta é: será que o vetor y está no segmento de reta que liga v1 e v2, ou seja, y in [v1, v2]?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear de vetores. A ideia é verificar se conseguimos escrever y como uma mistura de v1 e v2 com certos coeficientes.

Passo 2

Vamos tentar expressar o vetor y como uma combinação linear de v1 e v2. Isso significa que queremos encontrar números (escalar) alpha e beta tais que:
y = alpha v1 + beta v2
Isso dá a gente as seguintes componentes para trabalhar:
(-9, -2, 5) = alpha (-1, 2, 3) + beta (3, 4, 2)

Passo 3

Agora, vamos quebrar essa equação em componentes individuais para facilitar a resolução. Assim, temos um sistema de três equações:
-9 = -alpha + 3beta -2 = 2alpha + 4beta 5 = 3alpha + 2beta

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de alpha e beta. Vamos usar a terceira equação para encontrar uma relação entre alpha e beta.
A partir da terceira equação:
5 = 3alpha + 2beta Rightarrow 3alpha + 2beta = 5 (1)
Vamos também resolver a primeira equação:
-9 = -alpha + 3beta Rightarrow -alpha + 3beta = -9 (2)
Agora, temos um sistema com duas equações:
3alpha + 2beta = 5 (1) -alpha + 3beta = -9 (2)
Vamos multiplicar a equação (2) por 3 para facilitar a eliminação:
-3alpha + 9beta = -27 (3)
Agora, somamos a equação (1) com a equação (3):
3alpha + 2beta + (-3alpha + 9beta) = 5 + (-27) Rightarrow 11beta = -22 Rightarrow beta = -2
Substituindo beta = -2 na equação (1):
3alpha + 2(-2) = 5 3alpha - 4 = 5 3alpha = 9 alpha = 3

Passo 5

Agora que encontramos alpha = 3 e beta = -2, precisamos verificar se esses valores satisfazem a condição de que y está no segmento [v1, v2]. Para isso, os coeficientes alpha e beta devem ser tais que:
alpha + beta = 1 e 0 <= alpha, beta <= 1
Vamos verificar:
alpha + beta = 3 + (-2) = 1 (isso está ok) á
Mas os valores individuais:
alpha = 3 (que é maior que 1) beta = -2 (que é menor que 0) éé
Isso significa que, apesar da soma dar 1, os coeficientes alpha e beta estão fora do intervalo [0, 1], o que não satisfaz a condição necessária para que y pertença ao segmento [v1, v2].

Resposta

O vetor y não pertence ao segmento [v1, v2].

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