Discutir, em termos dos possíveis valores de , as superfícies de segundo grau:

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente analisar as superfícies de segundo grau definidas pela equação , variando o valor de . Vamos usar conceitos de geometria analítica para identificar que tipo de superfície estamos lidando e como o valor de influencia nisso. Para resolver, vamos precisar entender como classificar as superfícies de segundo grau e manipular a equação para identificar seus componentes principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação. A equação dada é:
Observamos que há um termo misto . Para simplificar, vamos realizar uma rotação nos eixos e de forma a eliminar esse termo misto. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de identificar.

Passo 3

Vamos considerar uma rotação de eixo com um ângulo tal que as novas variáveis e eliminem o termo . As transformações são:
Substituindo na equação original e escolhendo de forma que o coeficiente de seja zero, encontramos que , onde , , e . Então:
Escolhemos de modo que o termo misto desapareça.

Passo 4

Após a rotação, a equação se transforma em:
Onde e são os coeficientes das novas variáveis e . Esses coeficientes dependem de . A forma final nos permitirá identificar se a superfície é um elipsoide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, ou um paraboloide, dependendo dos sinais de e .

Passo 5

Agora, vamos analisar os possíveis casos para :
  1. :
    • Ambos os coeficientes e são positivos.
    • A superfície é um elipsoide, que é fechada e limitada.
  2. :
    • A equação simplifica para .
    • Ainda é um elipsoide, mas com simetria especial.
  3. :
    • Um coeficiente é positivo e outro negativo após a rotação.
    • A superfície é um hiperbolóide de uma folha, que é aberta e sem limites.
  4. :
    • A equação se torna .
    • É um paraboloide, específico em sua forma.
  5. :
    • Ambos os coeficientes após a rotação são negativos.
    • A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, também aberta e sem limites.

Resposta

Dependendo do valor de , as superfícies de segundo grau são:
  • Elipsoide quando ou .
  • Hiperbolóide de uma folha quando .
  • Hiperbolóide de duas folhas quando .
  • Paraboloide especificamente quando .

Exercícios relacionados

Dados e e e responda:
?
Identifique as seguintes superfícies de segundo grau:
Um radar detecta objetos que se aproximam dentro de uma região circular cujo centro está localizado no ponto , Se o alcance do radar é de 15 km , qual é a equação da circunferência que delimita a área de cobertura desse radar?
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD: