Discutir, em termos dos possíveis valores de
, as superfícies de segundo grau:
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente analisar as superfícies de segundo grau definidas pela equação
, variando o valor de
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para identificar que tipo de superfície estamos lidando e como o valor de
influencia nisso. Para resolver, vamos precisar entender como classificar as superfícies de segundo grau e manipular a equação para identificar seus componentes principais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação. A equação dada é:
Observamos que há um termo misto
. Para simplificar, vamos realizar uma rotação nos eixos
e
de forma a eliminar esse termo misto. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de identificar.
Passo 3
Vamos considerar uma rotação de eixo com um ângulo
tal que as novas variáveis
e
eliminem o termo
. As transformações são:
Substituindo na equação original e escolhendo
de forma que o coeficiente de
seja zero, encontramos que
, onde
,
, e
. Então:
Escolhemos
de modo que o termo misto desapareça.
Passo 4
Após a rotação, a equação se transforma em:
Onde
e
são os coeficientes das novas variáveis
e
. Esses coeficientes dependem de
. A forma final nos permitirá identificar se a superfície é um elipsoide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, ou um paraboloide, dependendo dos sinais de
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar os possíveis casos para
:
-
: - Ambos os coeficientes
e são positivos. - A superfície é um elipsoide, que é fechada e limitada.
- Ambos os coeficientes
-
: - A equação simplifica para
. - Ainda é um elipsoide, mas com simetria especial.
- A equação simplifica para
-
: - Um coeficiente é positivo e outro negativo após a rotação.
- A superfície é um hiperbolóide de uma folha, que é aberta e sem limites.
-
: - A equação se torna
. - É um paraboloide, específico em sua forma.
- A equação se torna
-
: - Ambos os coeficientes após a rotação são negativos.
- A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, também aberta e sem limites.
Resposta
Dependendo do valor de
, as superfícies de segundo grau
são:
- Elipsoide quando
ou . - Hiperbolóide de uma folha quando
. - Hiperbolóide de duas folhas quando
. - Paraboloide especificamente quando
.
Exercícios relacionados
Dados
e
e
e
responda:
?
Identifique as seguintes superfícies de segundo grau:
Um radar detecta objetos que se aproximam dentro de uma região circular cujo centro está localizado no ponto
, Se o alcance do radar é de 15 km , qual é a equação da circunferência que delimita a área de cobertura desse radar?
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD: