Discutir, em termos dos possíveis valores de lambda, as superfícies de segundo grau: x^2+lambda y^2+z^2-2 x y=2

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente analisar as superfícies de segundo grau definidas pela equação , variando o valor de . Vamos usar conceitos de geometria analítica para identificar que tipo de superfície estamos lidando e como o valor de influencia nisso. Para resolver, vamos precisar entender como classificar as superfícies de segundo grau e manipular a equação para identificar seus componentes principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação. A equação dada é:
x^2 + lambda y^2 + z^2 - 2xy = 2
Observamos que há um termo misto . Para simplificar, vamos realizar uma rotação nos eixos e de forma a eliminar esse termo misto. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de identificar.

Passo 3

Vamos considerar uma rotação de eixo com um ângulo x = x'costheta - y'sintheta tal que as novas variáveis y = x'sintheta + y'costheta e tan(2theta) = -21 - lambda eliminem o termo . As transformações são:
Substituindo na equação original e escolhendo de forma que o coeficiente de seja zero, encontramos que , onde , , e . Então:
Escolhemos de modo que o termo misto desapareça.

Passo 4

Após a rotação, a equação se transforma em:
A'x'^2 + C'y'^2 + z^2 = 2
Onde e são os coeficientes das novas variáveis e . Esses coeficientes dependem de . A forma final nos permitirá identificar se a superfície é um elipsoide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, ou um paraboloide, dependendo dos sinais de e .

Passo 5

Agora, vamos analisar os possíveis casos para :
  1. :
    • Ambos os coeficientes e são positivos.
    • A superfície é um elipsoide, que é fechada e limitada.
  2. :
    • A equação simplifica para .
    • Ainda é um elipsoide, mas com simetria especial.
  3. :
    • Um coeficiente é positivo e outro negativo após a rotação.
    • A superfície é um hiperbolóide de uma folha, que é aberta e sem limites.
  4. :
    • A equação se torna .
    • É um paraboloide, específico em sua forma.
  5. :
    • Ambos os coeficientes após a rotação são negativos.
    • A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, também aberta e sem limites.

Resposta

Dependendo do valor de , as superfícies de segundo grau são:
  • Elipsoide quando ou .
  • Hiperbolóide de uma folha quando .
  • Hiperbolóide de duas folhas quando .
  • Paraboloide especificamente quando .

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