Identifique as seguintes superfícies de segundo grau: x^2+y^2+2 z^2+2 x y-4 x z+1=0

Passo 1

Vamos analisar a questão: precisamos identificar a superfície de segundo grau representada pela equação . Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de superfícies de segundo grau, que envolvem identificar a forma da equação quadrática e determinar que tipo de superfície ela representa, como esferas, elipsoides, hiperbolóides, entre outros.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 + 2xy - 4xz + 1 = 0
Agora, percebemos que existem termos mistos e , o que indica que a equação não está em sua forma canônica. Para simplificar, precisamos eliminar esses termos mistos usando mudanças de coordenadas, como rotações, para diagonalizar a matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos representar a parte quadrática da equação em forma matricial:
x & y & z 1 & 1 & -2 1 & 1 & 0 -2 & 0 & 2 x y z + 1 = 0
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & -2 1 & 1 & 0 -2 & 0 & 2
Para diagonalizar essa matriz, calculamos seus autovalores e autovetores, o que nos permitirá encontrar uma base onde a equação não possui mais termos mistos.

Passo 4

Após calcular os autovalores e autovetores da matriz , encontramos que a matriz pode ser diagonalizada, e a equação passa a ter apenas termos quadráticos com coeficientes positivos. Isso indica que a superfície é um elipsoide, já que todos os coeficientes das variáveis ao quadrado são positivos e não há termos de grau ímpar após a diagonalização.

Resposta

A superfície de segundo grau é um Elipsoide.

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