Identifique as seguintes superfícies de segundo grau:

Passo 1

Vamos analisar a questão: precisamos identificar a superfície de segundo grau representada pela equação . Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de superfícies de segundo grau, que envolvem identificar a forma da equação quadrática e determinar que tipo de superfície ela representa, como esferas, elipsoides, hiperbolóides, entre outros.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Agora, percebemos que existem termos mistos e , o que indica que a equação não está em sua forma canônica. Para simplificar, precisamos eliminar esses termos mistos usando mudanças de coordenadas, como rotações, para diagonalizar a matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos representar a parte quadrática da equação em forma matricial:
A matriz dos coeficientes é:
Para diagonalizar essa matriz, calculamos seus autovalores e autovetores, o que nos permitirá encontrar uma base onde a equação não possui mais termos mistos.

Passo 4

Após calcular os autovalores e autovetores da matriz , encontramos que a matriz pode ser diagonalizada, e a equação passa a ter apenas termos quadráticos com coeficientes positivos. Isso indica que a superfície é um elipsoide, já que todos os coeficientes das variáveis ao quadrado são positivos e não há termos de grau ímpar após a diagonalização.

Resposta

A superfície de segundo grau é um Elipsoide.

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Dados :
Determinar
Uma ponte suspensa tem a forma de uma hipérbole cujas torres estão posicionadaş a uma distâncía de 100 metros uma da outra. A equação da hipérbole que descreve o formato da ponte é . Qual é a altura das torres em relaçâo ao ponto mais baixo da ponte (no eixo I)?
a) 40 metros
b) 50 metros
c) 60 metros
d) 70 metros
e) Nenhuma das anteriores
Dados e e e responda:
?
Discutir, em termos dos possíveis valores de , as superfícies de segundo grau: