Identifique as seguintes superfícies de segundo grau:
Passo 1
Vamos analisar a questão: precisamos identificar a superfície de segundo grau representada pela equação . Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de superfícies de segundo grau, que envolvem identificar a forma da equação quadrática e determinar que tipo de superfície ela representa, como esferas, elipsoides, hiperbolóides, entre outros.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Agora, percebemos que existem termos mistos e , o que indica que a equação não está em sua forma canônica. Para simplificar, precisamos eliminar esses termos mistos usando mudanças de coordenadas, como rotações, para diagonalizar a matriz dos coeficientes.
Passo 3
Vamos representar a parte quadrática da equação em forma matricial:
A matriz dos coeficientes é:
Para diagonalizar essa matriz, calculamos seus autovalores e autovetores, o que nos permitirá encontrar uma base onde a equação não possui mais termos mistos.
Passo 4
Após calcular os autovalores e autovetores da matriz , encontramos que a matriz pode ser diagonalizada, e a equação passa a ter apenas termos quadráticos com coeficientes positivos. Isso indica que a superfície é um elipsoide, já que todos os coeficientes das variáveis ao quadrado são positivos e não há termos de grau ímpar após a diagonalização.