Dados valores amostrais de uma função f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1,
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [3,10], considere a seguinte malha: x0=3, x1=4, x2=6 e x3=10. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos (xi-1, yi-1) e ( xi, yi ) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -13 & 14 & 112 & 0 0 & -328 & -112 & 421 0 & 0 & -13 & 13]
(B) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -34 & 23 & 112 & 0 0 & -421 & 112 & 328 0 & 0 & -14 & 14]
© [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -12 & 0 & 12 & 0 0 & -45 & 34 & 120 0 & 0 & -14 & 14]
(D) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -16 & -12 & 23 & 0 0 & -34 & 23 & 112 0 & 0 & -13 & 13]
(E) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -23 & 12 & 16 & 0 0 & -13 & 14 & 112 0 & 0 & -14 & 14]
(F) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo com pontos amostrais em , , e . A tarefa é encontrar uma matriz que transforme os valores da função nas aproximações das derivadas nesses pontos. Vamos precisar usar fórmulas de aproximação de derivadas para pontos extremos e interiores.

Passo 2

Vamos começar calculando g0 = y1 - y0x1 - x0 = y1 - y04 - 3 = y1 - y0 e g3 = y3 - y2x3 - x2 = y3 - y210 - 6 = y3 - y24 , que são as derivadas nos pontos extremos. A fórmula para os pontos extremos é a inclinação da reta secante entre e para , e entre e para .

Passo 3

Agora, vamos calcular gi = - (xi+1 - xi)^2 alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , que são as derivadas nos pontos interiores. Para isso, usamos a fórmula mais complexa que envolve uma combinação ponderada dos valores de alpha1 = (6 - 4)(4 - 3)(6 - 3) = 2 times 1 times 3 = 6 :
g1 = - (6 - 4)^26 y0 + (6 - 4)^2 - (4 - 3)^26 y1 + (4 - 3)^26 y2
onde
g1 = -46 y0 + 4 - 16 y1 + 16 y2 = -23 y0 + 12 y1 + 16 y2
Vamos calcular para alpha2 = (10 - 6)(6 - 4)(10 - 4) = 4 times 2 times 6 = 48 e g2 = - (10 - 6)^248 y1 + (10 - 6)^2 - (6 - 4)^248 y2 + (6 - 4)^248 y3 :
Para g2 = -1648 y1 + 16 - 448 y2 + 448 y3 = -13 y1 + 14 y2 + 112 y3 :
Substituindo na fórmula:
Para :
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora que temos as expressões para T = -1 & 1 & 0 & 0 -23 & 12 & 16 & 0 0 & -13 & 14 & 112 0 & 0 & -14 & 14 e , podemos montar a matriz de transformação que relaciona com :

Resposta

A matriz que representa a transformação linear é a opção (E):
[rrrr -1 & 1 & 0 & 0 -23 & 12 & 16 & 0 0 & -13 & 14 & 112 0 & 0 & -14 & 14 ]

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Sejam beta=b1, b2 uma base de R^2, u=(7,-2) e v=(-2,1). Se as coordenadas na base beta destes vetores são [u]beta=(4,1) e [v]beta=(1,1), então b2 é:
(A) [r* -3]
(B) [r* -2]
© [r* -5]
(D) [l* 0]
(E) [r* -1]
(F) [l* 2]
(G) [l* 1]
(H) [r* -4]
(I) Não sei
Seja T(x1, x2, x3, x4)=(x1+2 x2-2 x3-2 x4, -2 x1-x2+2 x3+5 x4, -2 x1-x2-x3+6 x4).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 2
(B) 4
© 0
(D) 3
(E) 1
(F) Não sei
Sejam v=(14,1,3,4) e
H=(x, y, z, w) in R^4 mid x+3 y-2 z+w=0
Calcule w=PH v, a projeção ortogonal de v sobre H.
O valor de w3, a 3^ a entrada de w, é:
Dica: Projete v em H^perp. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
Diga se cada expressão a seguir tem sentido. Se não, explique por quê. Se tiver, diga se é um vetor ou um escalar.
a cdot(b cdot c)