Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
para os pontos extremos,
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo com pontos amostrais em , , e . A tarefa é encontrar uma matriz que transforme os valores da função nas aproximações das derivadas nesses pontos. Vamos precisar usar fórmulas de aproximação de derivadas para pontos extremos e interiores.
Passo 2
Vamos começar calculando g0 = y1 - y0x1 - x0 = y1 - y04 - 3 = y1 - y0 e g3 = y3 - y2x3 - x2 = y3 - y210 - 6 = y3 - y24 , que são as derivadas nos pontos extremos. A fórmula para os pontos extremos é a inclinação da reta secante entre e para , e entre e para .
Passo 3
Agora, vamos calcular gi = - (xi+1 - xi)^2 alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , que são as derivadas nos pontos interiores. Para isso, usamos a fórmula mais complexa que envolve uma combinação ponderada dos valores de alpha1 = (6 - 4)(4 - 3)(6 - 3) = 2 times 1 times 3 = 6 :