Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um vetor
e um subespaço
definido por todas as combinações de
que satisfazem a equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar a projeção ortogonal de
sobre
, que chamaremos de
, e especificamente descobrir o valor da terceira entrada de
, ou seja,
.
Vamos precisar entender o conceito de projeção ortogonal e como projetar um vetor em um subespaço e no seu complemento ortogonal
. A dica sugere que projetar
em
é mais fácil, então vamos seguir esse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Este é o complemento ortogonal de
, ou seja, todos os vetores que são perpendiculares a cada vetor em
. A equação que define
é
, e o vetor normal a esse subespaço é
.
Passo 3
Para projetar
em
, usamos a fórmula da projeção de um vetor
em direção a um vetor
:
Aqui,
é o produto escalar entre
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Com esses valores, a projeção de
em
fica:
Passo 6
Agora, para encontrar a projeção de
em
, que é
, usamos a relação:
Substituindo os valores:
Resposta
O valor de
é 5.