Sejam v=(14,1,3,4) e
H=(x, y, z, w) in R^4 mid x+3 y-2 z+w=0
Calcule w=PH v, a projeção ortogonal de v sobre H.
O valor de w3, a 3^ a entrada de w, é:
Dica: Projete v em H^perp. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vetor v = (14, 1, 3, 4) e um subespaço definido por todas as combinações de que satisfazem a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar a projeção ortogonal de sobre , que chamaremos de , e especificamente descobrir o valor da terceira entrada de , ou seja, .
Vamos precisar entender o conceito de projeção ortogonal e como projetar um vetor em um subespaço e no seu complemento ortogonal . A dica sugere que projetar em é mais fácil, então vamos seguir esse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Este é o complemento ortogonal de , ou seja, todos os vetores que são perpendiculares a cada vetor em . A equação que define é , e o vetor normal a esse subespaço é .

Passo 3

Para projetar Projn v = v cdot nn cdot n n em , usamos a fórmula da projeção de um vetor em direção a um vetor :
Aqui, é o produto escalar entre e , e é o produto escalar de consigo mesmo.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v cdot n = 14 times 1 + 1 times 3 + 3 times (-2) + 4 times 1 = 14 + 3 - 6 + 4 = 15 :
n cdot n = 1^2 + 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15
Agora, calculamos :

Passo 5

Com esses valores, a projeção de Projn v = 1515 n = 1 times n = (1, 3, -2, 1) em fica:

Passo 6

Agora, para encontrar a projeção de w = v - ProjH^perp v em w = (14, 1, 3, 4) - (1, 3, -2, 1) = (14 - 1, 1 - 3, 3 - (-2), 4 - 1) = (13, -2, 5, 3) , que é , usamos a relação:
Substituindo os valores:

Resposta

O valor de é 5.

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