Sejam v=(14,1,3,4) e
H=(x, y, z, w) in R^4 mid x+3 y-2 z+w=0
Calcule w=PH v, a projeção ortogonal de v sobre H.
O valor de w3, a 3^ a entrada de w, é:
Dica: Projete v em H^perp. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vetor v = (14, 1, 3, 4) e um subespaço definido por todas as combinações de que satisfazem a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar a projeção ortogonal de sobre , que chamaremos de , e especificamente descobrir o valor da terceira entrada de , ou seja, .
Vamos precisar entender o conceito de projeção ortogonal e como projetar um vetor em um subespaço e no seu complemento ortogonal . A dica sugere que projetar em é mais fácil, então vamos seguir esse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Este é o complemento ortogonal de , ou seja, todos os vetores que são perpendiculares a cada vetor em . A equação que define é , e o vetor normal a esse subespaço é .

Passo 3

Para projetar Projn v = v cdot nn cdot n n em , usamos a fórmula da projeção de um vetor em direção a um vetor :
Aqui, é o produto escalar entre e , e é o produto escalar de consigo mesmo.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v cdot n = 14 times 1 + 1 times 3 + 3 times (-2) + 4 times 1 = 14 + 3 - 6 + 4 = 15 :
n cdot n = 1^2 + 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15
Agora, calculamos :

Passo 5

Com esses valores, a projeção de Projn v = 1515 n = 1 times n = (1, 3, -2, 1) em fica:

Passo 6

Agora, para encontrar a projeção de w = v - ProjH^perp v em w = (14, 1, 3, 4) - (1, 3, -2, 1) = (14 - 1, 1 - 3, 3 - (-2), 4 - 1) = (13, -2, 5, 3) , que é , usamos a relação:
Substituindo os valores:

Resposta

O valor de é 5.

Exercícios relacionados

Dados valores amostrais de uma função f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1,
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [3,10], considere a seguinte malha: x0=3, x1=4, x2=6 e x3=10. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos (xi-1, yi-1) e ( xi, yi ) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -13 & 14 & 112 & 0 0 & -328 & -112 & 421 0 & 0 & -13 & 13]
(B) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -34 & 23 & 112 & 0 0 & -421 & 112 & 328 0 & 0 & -14 & 14]
© [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -12 & 0 & 12 & 0 0 & -45 & 34 & 120 0 & 0 & -14 & 14]
(D) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -16 & -12 & 23 & 0 0 & -34 & 23 & 112 0 & 0 & -13 & 13]
(E) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -23 & 12 & 16 & 0 0 & -13 & 14 & 112 0 & 0 & -14 & 14]
(F) Não sei
Sejam beta=b1, b2 uma base de R^2, u=(7,-2) e v=(-2,1). Se as coordenadas na base beta destes vetores são [u]beta=(4,1) e [v]beta=(1,1), então b2 é:
(A) [r* -3]
(B) [r* -2]
© [r* -5]
(D) [l* 0]
(E) [r* -1]
(F) [l* 2]
(G) [l* 1]
(H) [r* -4]
(I) Não sei
Diga se cada expressão a seguir tem sentido. Se não, explique por quê. Se tiver, diga se é um vetor ou um escalar.
a cdot(b cdot c)
Dados os vetores u=(-2,-1,3), v=(2,1,3) determine
a) o produto escalar destes vetores
b) o ângulo formado entre estes vetores