Beleza, vamos lá! Temos um vetor e um subespaço definido por todas as combinações de que satisfazem a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar a projeção ortogonal de sobre , que chamaremos de , e especificamente descobrir o valor da terceira entrada de , ou seja, .
Vamos precisar entender o conceito de projeção ortogonal e como projetar um vetor em um subespaço e no seu complemento ortogonal . A dica sugere que projetar em é mais fácil, então vamos seguir esse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . Este é o complemento ortogonal de , ou seja, todos os vetores que são perpendiculares a cada vetor em . A equação que define é , e o vetor normal a esse subespaço é .
Passo 3
Para projetar em , usamos a fórmula da projeção de um vetor em direção a um vetor :
Aqui, é o produto escalar entre e , e é o produto escalar de consigo mesmo.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar :
Agora, calculamos :
Passo 5
Com esses valores, a projeção de em fica:
Passo 6
Agora, para encontrar a projeção de em , que é , usamos a relação: