Seja theta o ângulo entre os vetores (-2,-4,-1,3) e (4,5,-3,1) em R^4. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 <= theta <= pi / 6
(B) pi / 6
© pi / 4
(D) pi / 3
(E) pi / 2
(F) 2 pi / 3
(G) 3 pi / 4
(H) 5 pi / 6
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo theta entre dois vetores no espaço de quatro dimensões, R^4. Para isso, vamos usar a geometria vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona dois vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados:
  • Vetor u: (-2, -4, -1, 3)
  • Vetor v: (4, 5, -3, 1)

Passo 3

A fórmula do produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores é dada por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4
Isso significa que multiplicamos componente por componente e somamos os resultados.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v:
u cdot v = (-2)(4) + (-4)(5) + (-1)(-3) + (3)(1)
= -8 - 20 + 3 + 3
= -22

Passo 5

Agora, precisamos calcular a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor a = (a1, a2, a3, a4) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2

Passo 6

Calculando a norma de u:
|u| = raiz(-2)^2 + (-4)^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 16 + 1 + 9 = raiz30
Calculando a norma de v:
|v| = raiz4^2 + 5^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz16 + 25 + 9 + 1 = raiz51

Passo 7

Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo theta:
costheta = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = -22raiz30 cdot raiz51 = -22raiz1530 approx -2239.11 approx -0.563

Passo 8

Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno (arccos):
theta = arccos(-0.563) approx 124.7^circ
Convertendo para radianos:
theta approx 124.7^circ times pi180 approx 2.175 radianos

Passo 9

Vamos analisar em qual intervalo o ângulo theta approx 2.175 radianos se encaixa:
  • pi/2 approx 1.571 rad
  • 2pi/3 approx 2.094 rad
  • 3pi/4 approx 2.356 rad
Como 2.094 < 2.175 < 2.356, concluímos que:
pi/2 < theta <= 2pi/3

Resposta

A alternativa correta é a (E) pi / 2.

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