Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço de quatro dimensões, . Para isso, vamos usar a geometria vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona dois vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados:
  • Vetor u:
  • Vetor v:

Passo 3

A fórmula do produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores é dada por:
Isso significa que multiplicamos componente por componente e somamos os resultados.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor é dada por:

Passo 6

Calculando a norma de u:
Calculando a norma de v:

Passo 7

Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo :
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 8

Agora, para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno (arccos):
Convertendo para radianos:

Passo 9

Vamos analisar em qual intervalo o ângulo radianos se encaixa:
  • rad
  • rad
  • rad
Como , concluímos que:

Resposta

A alternativa correta é a (E) .

Exercícios relacionados

  1. Prove, usando um sistema de eixos conveniente, os seguintes resultados geométricos:
    a) num triângulo retângulo, , onde é a altura relativa à hipotenusa e e são as medidas dos catetos.
Mostre que os pontos são vértices de um triângulo retângulo. Em seguida, calcule a área desse triângulo.
é tal que e Imagem . Se , calcule a matriz . Assinale abaixo o valor da entrada :
(A) 8
(B) 9
© 10
(D) 11
(E) 12
(F) 13
(G) 14
(H) 15
(I) Não sei
Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
  • para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em da parábola que interpola os pontos e . Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinaçōes das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos e ou utilizandose e . Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, e (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F) Não sei