A3 times 3 é tal que Ker A=span(1,-2,0),(2,0,2) e Imagem A=span(-3,-3,2). Se a11=-12, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a23 :
(A) 8
(B) 9
© 10
(D) 11
(E) 12
(F) 13
(G) 14
(H) 15
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de tamanho . O enunciado diz que o núcleo de (ou seja, as soluções de ) é gerado pelos vetores e . Além disso, a imagem de é gerada pelo vetor . Sabemos também que o elemento da matriz é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e a relação entre eles para encontrar os outros elementos de , especificamente .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de . O núcleo (ou kernel) de uma matriz é o conjunto de vetores que satisfazem . No nosso caso, o núcleo é gerado por dois vetores, o que indica que ele é bidimensional. Isso também nos diz que a matriz tem posto 1, já que a dimensão do núcleo mais o posto da matriz deve ser igual ao número de colunas (que é 3).

Passo 3

A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como para algum vetor . Aqui, a imagem é gerada pelo vetor , o que significa que todos os vetores resultantes da multiplicação serão múltiplos desse vetor. Isso confirma que o posto de é 1.

Passo 4

Sabendo que o posto de A = -3k1 & -3k2 & -3k3 -3k1 & -3k2 & -3k3 2k1 & 2k2 & 2k3 é 1, podemos concluir que todas as colunas de são múltiplos do vetor que gera a imagem. Portanto, podemos escrever as colunas de como múltiplos de :
onde são escalares que vamos determinar.

Passo 5

Além disso, sabemos que -3k1 = -12 implies k1 = 4 . Olhando para a primeira entrada da matriz que escrevemos, temos:
A = -12 & -3k2 & -3k3 -12 & -3k2 & -3k3 8 & 2k2 & 2k3
Então, podemos atualizar a matriz:

Passo 6

Agora, vamos usar a informação sobre o núcleo para encontrar A 1 -2 0 = -12 cdot 1 + (-3k2) cdot (-2) + (-3k3) cdot 0 -12 cdot 1 + (-3k2) cdot (-2) + (-3k3) cdot 0 8 cdot 1 + 2k2 cdot (-2) + 2k3 cdot 0 = -12 + 6k2 -12 + 6k2 8 - 4k2 = 0 0 0 e -12 + 6k2 = 0 8 - 4k2 = 0 . Sabemos que qualquer vetor no núcleo satisfaz -12 + 6k2 = 0 implies 6k2 = 12 implies k2 = 2 . Vamos pegar o primeiro vetor do núcleo e multiplicar por :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo a primeira equação:

Passo 7

Com 8 - 4 cdot 2 = 8 - 8 = 0 , vamos substituir na segunda equação para verificar:
A 2 0 2 = -12 cdot 2 + (-3k2) cdot 0 + (-3k3) cdot 2 -12 cdot 2 + (-3k2) cdot 0 + (-3k3) cdot 2 8 cdot 2 + 2k2 cdot 0 + 2k3 cdot 2 = -24 - 6k3 -24 - 6k3 16 + 4k3 = 0 0 0
Tudo certo! Agora, vamos encontrar -24 - 6k3 = 0 16 + 4k3 = 0 . Para isso, podemos usar o segundo vetor do núcleo -24 - 6k3 = 0 implies -6k3 = 24 implies k3 = -4 :
Isso nos dá:
Resolvendo a primeira equação:

Passo 8

Agora que temos A = -12 & -3 cdot 2 & -3 cdot (-4) -12 & -3 cdot 2 & -3 cdot (-4) 8 & 2 cdot 2 & 2 cdot (-4) = -12 & -6 & 12 -12 & -6 & 12 8 & 4 & -8 , podemos montar a matriz :

Resposta

O valor da entrada é 12. Portanto, a alternativa correta é a letra (E) 12.

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