é tal que e Imagem . Se , calcule a matriz . Assinale abaixo o valor da entrada :
(A) 8
(B) 9
© 10
(D) 11
(E) 12
(F) 13
(G) 14
(H) 15
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de tamanho . O enunciado diz que o núcleo de (ou seja, as soluções de ) é gerado pelos vetores e . Além disso, a imagem de é gerada pelo vetor . Sabemos também que o elemento da matriz é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e a relação entre eles para encontrar os outros elementos de , especificamente .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de . O núcleo (ou kernel) de uma matriz é o conjunto de vetores que satisfazem . No nosso caso, o núcleo é gerado por dois vetores, o que indica que ele é bidimensional. Isso também nos diz que a matriz tem posto 1, já que a dimensão do núcleo mais o posto da matriz deve ser igual ao número de colunas (que é 3).

Passo 3

A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como para algum vetor . Aqui, a imagem é gerada pelo vetor , o que significa que todos os vetores resultantes da multiplicação serão múltiplos desse vetor. Isso confirma que o posto de é 1.

Passo 4

Sabendo que o posto de é 1, podemos concluir que todas as colunas de são múltiplos do vetor que gera a imagem. Portanto, podemos escrever as colunas de como múltiplos de :
onde são escalares que vamos determinar.

Passo 5

Além disso, sabemos que . Olhando para a primeira entrada da matriz que escrevemos, temos:
Então, podemos atualizar a matriz:

Passo 6

Agora, vamos usar a informação sobre o núcleo para encontrar e . Sabemos que qualquer vetor no núcleo satisfaz . Vamos pegar o primeiro vetor do núcleo e multiplicar por :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo a primeira equação:

Passo 7

Com , vamos substituir na segunda equação para verificar:
Tudo certo! Agora, vamos encontrar . Para isso, podemos usar o segundo vetor do núcleo :
Isso nos dá:
Resolvendo a primeira equação:

Passo 8

Agora que temos , podemos montar a matriz :

Resposta

O valor da entrada é 12. Portanto, a alternativa correta é a letra (E) 12.

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Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
  1. Prove, usando um sistema de eixos conveniente, os seguintes resultados geométricos:
    a) num triângulo retângulo, , onde é a altura relativa à hipotenusa e e são as medidas dos catetos.
Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
  • para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em da parábola que interpola os pontos e . Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinaçōes das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos e ou utilizandose e . Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, e (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F) Não sei
Sejam uma base de e . Se as coordenadas na base destes vetores são e , então é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei