Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de tamanho . O enunciado diz que o núcleo de (ou seja, as soluções de ) é gerado pelos vetores e . Além disso, a imagem de é gerada pelo vetor . Sabemos também que o elemento da matriz é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e a relação entre eles para encontrar os outros elementos de , especificamente .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de . O núcleo (ou kernel) de uma matriz é o conjunto de vetores que satisfazem . No nosso caso, o núcleo é gerado por dois vetores, o que indica que ele é bidimensional. Isso também nos diz que a matriz tem posto 1, já que a dimensão do núcleo mais o posto da matriz deve ser igual ao número de colunas (que é 3).
Passo 3
A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como para algum vetor . Aqui, a imagem é gerada pelo vetor , o que significa que todos os vetores resultantes da multiplicação serão múltiplos desse vetor. Isso confirma que o posto de é 1.
Passo 4
Sabendo que o posto de é 1, podemos concluir que todas as colunas de são múltiplos do vetor que gera a imagem. Portanto, podemos escrever as colunas de como múltiplos de :
onde são escalares que vamos determinar.
Passo 5
Além disso, sabemos que . Olhando para a primeira entrada da matriz que escrevemos, temos:
Então, podemos atualizar a matriz:
Passo 6
Agora, vamos usar a informação sobre o núcleo para encontrar e . Sabemos que qualquer vetor no núcleo satisfaz . Vamos pegar o primeiro vetor do núcleo e multiplicar por :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo a primeira equação:
Passo 7
Com , vamos substituir na segunda equação para verificar:
Tudo certo! Agora, vamos encontrar . Para isso, podemos usar o segundo vetor do núcleo :
Isso nos dá:
Resolvendo a primeira equação:
Passo 8
Agora que temos , podemos montar a matriz :
Resposta
O valor da entrada é 12. Portanto, a alternativa correta é a letra (E) 12.