Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
c) em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre verificar se o conjunto dos números inteiros, , é um subanel e/ou um ideal dentro do anel dos números racionais, . Para isso, vamos precisar entender o que é um subanel e o que é um ideal, e depois ver se atende a esses critérios dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é um subanel. Um subanel de um anel é um subconjunto que é fechado sob adição, subtração e multiplicação, e que contém o elemento neutro da multiplicação (no caso dos anéis com unidade). Então, para verificar se é um subanel de , precisamos ver se ele satisfaz essas propriedades dentro de .

Passo 3

Vamos conferir a primeira propriedade: fechamento sob adição. Se pegarmos dois números inteiros qualquer, a soma deles também é um número inteiro. Ou seja, está fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos para o fechamento sob subtração. Se subtrairmos dois inteiros, o resultado também será um inteiro. Então, também está fechado sob subtração.

Passo 5

A próxima propriedade é o fechamento sob multiplicação. Multiplicando dois inteiros, o resultado é outro inteiro. Assim, está fechado sob multiplicação.

Passo 6

Por fim, precisamos ver se contém o elemento neutro da multiplicação em , que é o número 1. Como 1 é um inteiro, realmente contém esse elemento.

Passo 7

Como satisfaz todas as propriedades para ser um subanel de , podemos concluir que é de fato um subanel de .

Passo 8

Agora, vamos verificar se é um ideal de . Um ideal é um subanel que, além das propriedades de subanel, tem a propriedade de que o produto de qualquer elemento de com qualquer elemento de está de volta em . No entanto, como é um campo (onde todo elemento não zero é invertível), os únicos ideais em um campo são o conjunto trivial e o próprio campo.

Passo 9

Como não é igual a e contém mais que apenas o zero, não pode ser um ideal de .

Resposta

O conjunto é um subanel de , mas não é um ideal de .

Exercícios relacionados

Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
d) A soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
b)
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
a)
Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
  • para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em da parábola que interpola os pon- e . Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos e ou utilizandose e . Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, e (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
1


0

(B)

0

0

©


(D)