Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
c) em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre verificar se o conjunto dos números inteiros, , é um subanel e/ou um ideal dentro do anel dos números racionais, . Para isso, vamos precisar entender o que é um subanel e o que é um ideal, e depois ver se atende a esses critérios dentro de .
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é um subanel. Um subanel de um anel é um subconjunto que é fechado sob adição, subtração e multiplicação, e que contém o elemento neutro da multiplicação (no caso dos anéis com unidade). Então, para verificar se é um subanel de , precisamos ver se ele satisfaz essas propriedades dentro de .
Passo 3
Vamos conferir a primeira propriedade: fechamento sob adição. Se pegarmos dois números inteiros qualquer, a soma deles também é um número inteiro. Ou seja, está fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos para o fechamento sob subtração. Se subtrairmos dois inteiros, o resultado também será um inteiro. Então, também está fechado sob subtração.
Passo 5
A próxima propriedade é o fechamento sob multiplicação. Multiplicando dois inteiros, o resultado é outro inteiro. Assim, está fechado sob multiplicação.
Passo 6
Por fim, precisamos ver se contém o elemento neutro da multiplicação em , que é o número 1. Como 1 é um inteiro, realmente contém esse elemento.
Passo 7
Como satisfaz todas as propriedades para ser um subanel de , podemos concluir que é de fato um subanel de .
Passo 8
Agora, vamos verificar se é um ideal de . Um ideal é um subanel que, além das propriedades de subanel, tem a propriedade de que o produto de qualquer elemento de com qualquer elemento de está de volta em . No entanto, como é um campo (onde todo elemento não zero é invertível), os únicos ideais em um campo são o conjunto trivial e o próprio campo.
Passo 9
Como não é igual a e contém mais que apenas o zero, não pode ser um ideal de .
Resposta
O conjunto é um subanel de , mas não é um ideal de .