Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
c) Z em Q.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre verificar se o conjunto dos números inteiros, Z, é um subanel e/ou um ideal dentro do anel dos números racionais, Q. Para isso, vamos precisar entender o que é um subanel e o que é um ideal, e depois ver se Z atende a esses critérios dentro de Q.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é um subanel. Um subanel de um anel é um subconjunto que é fechado sob adição, subtração e multiplicação, e que contém o elemento neutro da multiplicação (no caso dos anéis com unidade). Então, para verificar se Z é um subanel de Q, precisamos ver se ele satisfaz essas propriedades dentro de Q.

Passo 3

Vamos conferir a primeira propriedade: fechamento sob adição. Se pegarmos dois números inteiros qualquer, a soma deles também é um número inteiro. Ou seja, Z está fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos para o fechamento sob subtração. Se subtrairmos dois inteiros, o resultado também será um inteiro. Então, Z também está fechado sob subtração.

Passo 5

A próxima propriedade é o fechamento sob multiplicação. Multiplicando dois inteiros, o resultado é outro inteiro. Assim, Z está fechado sob multiplicação.

Passo 6

Por fim, precisamos ver se Z contém o elemento neutro da multiplicação em Q, que é o número 1. Como 1 é um inteiro, Z realmente contém esse elemento.

Passo 7

Como Z satisfaz todas as propriedades para ser um subanel de Q, podemos concluir que Z é de fato um subanel de Q.

Passo 8

Agora, vamos verificar se Z é um ideal de Q. Um ideal é um subanel que, além das propriedades de subanel, tem a propriedade de que o produto de qualquer elemento de Q com qualquer elemento de Z está de volta em Z. No entanto, como Q é um campo (onde todo elemento não zero é invertível), os únicos ideais em um campo são o conjunto trivial 0 e o próprio campo.

Passo 9

Como Z não é igual a Q e contém mais que apenas o zero, Z não pode ser um ideal de Q.

Resposta

O conjunto Z é um subanel de Q, mas não é um ideal de Q.

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