Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
c)
em
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre verificar se o conjunto dos números inteiros,
, é um subanel e/ou um ideal dentro do anel dos números racionais,
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subanel e o que é um ideal, e depois ver se
atende a esses critérios dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é um subanel. Um subanel de um anel é um subconjunto que é fechado sob adição, subtração e multiplicação, e que contém o elemento neutro da multiplicação (no caso dos anéis com unidade). Então, para verificar se
é um subanel de
, precisamos ver se ele satisfaz essas propriedades dentro de
.
Passo 3
Vamos conferir a primeira propriedade: fechamento sob adição. Se pegarmos dois números inteiros qualquer, a soma deles também é um número inteiro. Ou seja,
está fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos para o fechamento sob subtração. Se subtrairmos dois inteiros, o resultado também será um inteiro. Então,
também está fechado sob subtração.
Passo 5
A próxima propriedade é o fechamento sob multiplicação. Multiplicando dois inteiros, o resultado é outro inteiro. Assim,
está fechado sob multiplicação.
Passo 6
Por fim, precisamos ver se
contém o elemento neutro da multiplicação em
, que é o número 1. Como 1 é um inteiro,
realmente contém esse elemento.
Passo 7
Como
satisfaz todas as propriedades para ser um subanel de
, podemos concluir que
é de fato um subanel de
.
Passo 8
Agora, vamos verificar se
é um ideal de
. Um ideal é um subanel que, além das propriedades de subanel, tem a propriedade de que o produto de qualquer elemento de
com qualquer elemento de
está de volta em
. No entanto, como
é um campo (onde todo elemento não zero é invertível), os únicos ideais em um campo são o conjunto trivial
e o próprio campo.
Passo 9
Como
não é igual a
e contém mais que apenas o zero,
não pode ser um ideal de
.
Resposta
O conjunto
é um subanel de
, mas não é um ideal de
.