Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
a) P=2 k, k in Z em(Z,+, cdot)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é um subanel e/ou um ideal dentro do anel . Para resolver isso, precisamos lembrar das definições de subanel e ideal na teoria dos anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é um subanel de . Um subanel precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o elemento neutro: No caso de , o elemento neutro para a adição é 0. Como , o 0 está em .
  2. Fechado sob adição e subtração: Se pegarmos dois elementos quaisquer de , digamos e , a soma é , que também está em . A subtração também está em .
  3. Fechado sob multiplicação: Multiplicando dois elementos de , temos , mas como , que também está na forma , então está em .
Como todas as condições são satisfeitas, é um subanel de .

Passo 3

Agora, vamos ver se é um ideal de . Além de ser um subanel, um ideal precisa satisfazer uma condição extra:
  • Absorção pela multiplicação do anel: Para qualquer e , o produto deve estar em .
Vamos verificar isso:
  • Seja qualquer inteiro e com . Então, , que está na forma com . Logo, .
Portanto, satisfaz a condição de ideal.

Resposta

O conjunto é tanto um subanel quanto um ideal do anel .

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