Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
é um subanel e/ou um ideal dentro do anel
. Para resolver isso, precisamos lembrar das definições de subanel e ideal na teoria dos anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é um subanel de
. Um subanel precisa satisfazer três condições:
- Contém o elemento neutro: No caso de
, o elemento neutro para a adição é 0. Como , o 0 está em . - Fechado sob adição e subtração: Se pegarmos dois elementos quaisquer de
, digamos e , a soma é , que também está em . A subtração também está em . - Fechado sob multiplicação: Multiplicando dois elementos de
, temos , mas como , que também está na forma , então está em .
Como todas as condições são satisfeitas,
é um subanel de
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é um ideal de
. Além de ser um subanel, um ideal precisa satisfazer uma condição extra:
- Absorção pela multiplicação do anel: Para qualquer
e , o produto deve estar em .
Vamos verificar isso:
- Seja
qualquer inteiro e com . Então, , que está na forma com . Logo, .
Portanto,
satisfaz a condição de ideal.
Resposta
O conjunto
é tanto um subanel quanto um ideal do anel
.