Dados o vetor v = i - 2j e os pontos A(1,-3) e B(3,-7) :
Determine o valor de alpha e beta sabendo que os vetores v = (1, -4) e t = (3 alpha + 4, beta - 1) são simétricos (opostos).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um vetor e um vetor . A tarefa é encontrar os valores de alpha e beta sabendo que esses dois vetores são simétricos, ou seja, são opostos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de vetores e entender o que significa dois vetores serem opostos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são simétricos ou opostos. Se é o oposto de v, então . Isso quer dizer que cada componente de é o negativo da correspondente em v.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa ideia aos vetores que temos:
Substituindo os valores que conhecemos:

Passo 4

Vamos calcular o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, isso significa que as componentes correspondentes dos vetores devem ser iguais. Então, temos duas equações:

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação para alpha:

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda equação para beta:

Resposta

Então, os valores são e .

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