Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
(a) x1+x2+2 x3 & =8 -x1-2 x2+3 x3 & =1 3 x1-7 x2+4 x3 & =10

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que temos aqui. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x1 + x2 + 2x3 &= 8 -x1 - 2x2 + 3x3 &= 1 3x1 - 7x2 + 4x3 &= 10 , , ). Nosso objetivo é encontrar os valores dessas incógnitas usando a eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer umas operações de linha para simplificar tudo.
As equações são:

Passo 2

Vamos transformar essas equações em uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as operações que vamos fazer:
1 & 1 & 2 & | & 8 -1 & -2 & 3 & | & 1 3 & -7 & 4 & | & 10

Passo 3

O próximo passo é deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 e zerar os elementos abaixo dele na mesma coluna. Já temos o 1 em Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 na primeira linha, então podemos zerar o 1 & 1 & 2 & | & 8 0 & -1 & 5 & | & 9 3 & -7 & 4 & | & 10 e o da segunda e terceira linhas.
Vamos adicionar a primeira linha à segunda linha para zerar o :

Passo 4

Agora, vamos zerar o Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1 na terceira linha. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & -1 & 5 & | & 9 0 & -10 & -2 & | & -14

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por Linha 2 = -1 times Linha 2 para facilitar os cálculos:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 1 & -5 & | & -9 0 & -10 & -2 & | & -14

Passo 6

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 + 10 times Linha 2 na terceira linha usando a segunda linha. Para isso, adicionamos 10 vezes a segunda linha à terceira linha:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 1 & -5 & | & -9 0 & 0 & -52 & | & -104

Passo 7

Chegamos a uma equação com apenas -52x3 = -104 x3 = -104-52 x3 = 2 . Vamos resolver para :

Passo 8

Com o valor de x2 - 5x3 = -9 x2 - 5(2) = -9 x2 - 10 = -9 x2 = 1 encontrado, vamos substituir na segunda equação para achar :

Passo 9

Por fim, substituímos os valores de x1 + x2 + 2x3 = 8 x1 + 1 + 2(2) = 8 x1 + 1 + 4 = 8 x1 = 3 e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2

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