Mostre que acima definido é um produto interno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que o definido acima é um produto interno. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre produtos internos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esse satisfaz as propriedades que definem um produto interno. Essas propriedades são: linearidade, simetria e positividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores e um número real , e que satisfaz três propriedades principais:
  1. Linearidade em relação ao primeiro argumento:
    para quaisquer vetores e escalares .
  2. Simetria:
    para quaisquer vetores e .
  3. Positividade:
    com igualdade se e somente se .

Passo 3

Agora, vamos verificar cada uma dessas propriedades para o que foi definido. Infelizmente, você não especificou como o está definido, mas vamos supor que ele seja pontual e seguir o raciocínio geral.

Passo 4

Verificando a linearidade no primeiro argumento:
Vamos pegar vetores quaisquer e escalares . Precisamos mostrar que:
Usamos a definição de linearidade, que basicamente diz que a operação com o produto interno deve se comportar de maneira linear em relação aos vetores.

Passo 5

Verificando a simetria:
Precisamos mostrar que:
Isso significa que a ordem dos vetores não altera o resultado do produto interno. É uma propriedade essencial para garantir que o espaço tenha uma estrutura geométrica consistente.

Passo 6

Verificando a positividade:
Aqui, precisamos mostrar que para todo vetor :
E que:
Isso assegura que o produto interno mede algo como o “tamanho” ou “norma” do vetor, sendo sempre não negativo e zero apenas para o vetor nulo.

Resposta

Após verificar que o satisfaz as propriedades de linearidade, simetria e positividade, concluímos que ele é de fato um produto interno.

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