Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar duas desigualdades envolvendo números complexos. Vamos usar conhecimentos de módulos de números complexos e propriedades das desigualdades. Precisaremos entender como manipular módulos e aplicar a desigualdade triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão . Sabemos que o módulo de uma fração de números complexos é igual ao módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um jeito de relacionar com e . Para isso, vamos usar a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números complexos e :
Nesse caso, aplicamos a desigualdade triangular para e :
Passo 4
Queremos uma desigualdade que envolva no denominador. Observe que, como , podemos aplicar a desigualdade inversa. Sabemos que se , então para .
Então, a partir de:
Podemos reescrever:
Passo 5
Mas queremos relacionar com . Para isso, consideramos que , então:
Aplicando a desigualdade inversa novamente:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Usando a desigualdade que encontramos:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos provar a segunda desigualdade: . Seguindo os mesmos passos:
Primeiro, escrevemos:
Passo 8
Aplicamos a desigualdade triangular ao denominador:
Como , temos:
Passo 9
Invertendo a desigualdade (já que os termos são positivos):