Supondo ser |z2|>|z3|, prove que |z1z2+z3| <= |z1||z2|-|z3| e |z1z2-z3 mid| <= |z1||z2|-|z3|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar duas desigualdades envolvendo números complexos. Vamos usar conhecimentos de módulos de números complexos e propriedades das desigualdades. Precisaremos entender como manipular módulos e aplicar a desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão | z1z2 + z3 | = |z1| |z2 + z3| . Sabemos que o módulo de uma fração de números complexos é igual ao módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um jeito de relacionar |a + b| <= |a| + |b| com |z2 + z3| <= |z2| + |z3| e . Para isso, vamos usar a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números complexos e :
Nesse caso, aplicamos a desigualdade triangular para e :

Passo 4

Queremos uma desigualdade que envolva |z2 + z3| <= |z2| + |z3| no denominador. Observe que, como 1|z2 + z3| >= 1|z2| + |z3| , podemos aplicar a desigualdade inversa. Sabemos que se , então para .
Então, a partir de:
Podemos reescrever:

Passo 5

Mas queremos relacionar com |z2| - |z3| <= |z2| + |z3| . Para isso, consideramos que 1|z2| - |z3| >= 1|z2| + |z3| , então:
Aplicando a desigualdade inversa novamente:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
| z1z2 + z3 | = |z1| |z2 + z3|
Usando a desigualdade que encontramos:
|z1| |z2 + z3| <= |z1| |z2| - |z3|
Portanto:
| z1z2 + z3 | <= |z1| |z2| - |z3|

Passo 7

Agora, vamos provar a segunda desigualdade: | z1z2 - z3 | = |z1| |z2 - z3| . Seguindo os mesmos passos:
Primeiro, escrevemos:

Passo 8

Aplicamos a desigualdade triangular ao denominador:
|z2 - z3| >= | |z2| - |z3| |
Como |z2 - z3| >= |z2| - |z3| , temos:

Passo 9

Invertendo a desigualdade (já que os termos são positivos):
1|z2 - z3| <= 1|z2| - |z3|

Passo 10

Substituindo na expressão original:
|z1| |z2 - z3| <= |z1| |z2| - |z3|
Portanto:
| z1z2 - z3 | <= |z1| |z2| - |z3|

Resposta

Conseguimos provar que:
| z1z2 + z3 | <= |z1| |z2| - |z3|
e
| z1z2 - z3 | <= |z1| |z2| - |z3|

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