Supondo ser , prove que e |z1z2-z3 mid| <= |z1||z2|-|z3|.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar duas desigualdades envolvendo números complexos. Vamos usar conhecimentos de módulos de números complexos e propriedades das desigualdades. Precisaremos entender como manipular módulos e aplicar a desigualdade triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão | z1z2 + z3 | = |z1| |z2 + z3| . Sabemos que o módulo de uma fração de números complexos é igual ao módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um jeito de relacionar |a + b| <= |a| + |b| com |z2 + z3| <= |z2| + |z3| e . Para isso, vamos usar a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números complexos e :
Nesse caso, aplicamos a desigualdade triangular para e :
Passo 4
Queremos uma desigualdade que envolva |z2 + z3| <= |z2| + |z3| no denominador. Observe que, como 1|z2 + z3| >= 1|z2| + |z3| , podemos aplicar a desigualdade inversa. Sabemos que se , então para .
Então, a partir de:
Podemos reescrever:
Passo 5
Mas queremos relacionar com |z2| - |z3| <= |z2| + |z3| . Para isso, consideramos que 1|z2| - |z3| >= 1|z2| + |z3| , então:
Aplicando a desigualdade inversa novamente:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
| z1z2 + z3 | = |z1| |z2 + z3|
Usando a desigualdade que encontramos:
|z1| |z2 + z3| <= |z1| |z2| - |z3|
Portanto:
| z1z2 + z3 | <= |z1| |z2| - |z3|
Passo 7
Agora, vamos provar a segunda desigualdade: | z1z2 - z3 | = |z1| |z2 - z3| . Seguindo os mesmos passos:
Primeiro, escrevemos:
Passo 8
Aplicamos a desigualdade triangular ao denominador:
|z2 - z3| >= | |z2| - |z3| |
Como |z2 - z3| >= |z2| - |z3| , temos:
Passo 9
Invertendo a desigualdade (já que os termos são positivos):