Supondo ser , prove que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar duas desigualdades envolvendo números complexos. Vamos usar conhecimentos de módulos de números complexos e propriedades das desigualdades. Precisaremos entender como manipular módulos e aplicar a desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Sabemos que o módulo de uma fração de números complexos é igual ao módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um jeito de relacionar com e . Para isso, vamos usar a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números complexos e :
Nesse caso, aplicamos a desigualdade triangular para e :

Passo 4

Queremos uma desigualdade que envolva no denominador. Observe que, como , podemos aplicar a desigualdade inversa. Sabemos que se , então para .
Então, a partir de:
Podemos reescrever:

Passo 5

Mas queremos relacionar com . Para isso, consideramos que , então:
Aplicando a desigualdade inversa novamente:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
Usando a desigualdade que encontramos:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos provar a segunda desigualdade: . Seguindo os mesmos passos:
Primeiro, escrevemos:

Passo 8

Aplicamos a desigualdade triangular ao denominador:
Como , temos:

Passo 9

Invertendo a desigualdade (já que os termos são positivos):

Passo 10

Substituindo na expressão original:
Portanto:

Resposta

Conseguimos provar que:
e

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