Dados os vetores
determine:
a) o produto escalar destes vetores
b) o ângulo formado entre estes vetores
a) o produto escalar destes vetores
b) o ângulo formado entre estes vetores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores,
e
. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) O produto escalar desses vetores.
b) O ângulo formado entre eles.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores
e
. O produto escalar, também conhecido como produto interno, é calculado assim:
Onde
e
são as componentes do vetor
, e
e
são as componentes do vetor
.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das componentes dos vetores na fórmula:
Passo 4
Então, o produto escalar dos vetores
e
é
.
Agora, vamos para a segunda parte: encontrar o ângulo entre eles.
Passo 5
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é o ��ngulo entre os vetores. -
é o produto escalar que já calculamos. -
e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores e , respectivamente.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular as magnitudes dos vetores.
A magnitude de um vetor
é dada por:
Então, para
:
E para
:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno (a função inversa do cosseno):
Passo 8
Calculando o valor numérico:
Resposta
a) O produto escalar dos vetores
e
é
.
b) O ângulo formado entre os vetores é aproximadamente
.