Dados os vetores a=(4,-1), b=(2,1) determine:
a) o produto escalar destes vetores
b) o ângulo formado entre estes vetores

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, a = (4, -1) e b = (2, 1). A gente precisa descobrir duas coisas:
a) O produto escalar desses vetores.
b) O ângulo formado entre eles.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores a e b. O produto escalar, também conhecido como produto interno, é calculado assim:
a cdot b = a1 times b1 + a2 times b2
Onde a1 e a2 são as componentes do vetor a, e b1 e b2 são as componentes do vetor b.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das componentes dos vetores na fórmula:
a cdot b = 4 times 2 + (-1) times 1
a cdot b = 8 - 1 = 7

Passo 4

Então, o produto escalar dos vetores a e b é 7.
Agora, vamos para a segunda parte: encontrar o ângulo entre eles.

Passo 5

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a seguinte fórmula:
cos(theta) = a cdot b|a| times |b|
Onde:
  • theta é o ��ngulo entre os vetores.
  • a cdot b é o produto escalar que já calculamos.
  • |a| e |b| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores a e b, respectivamente.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular as magnitudes dos vetores.
A magnitude de um vetor v = (v1, v2) é dada por:
|v| = raizv1^2 + v2^2
Então, para a:
|a| = raiz4^2 + (-1)^2 = raiz16 + 1 = raiz17
E para b:
|b| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = 7raiz17 times raiz5 = 7raiz85
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno (a função inversa do cosseno):
theta = arccos(7raiz85)

Passo 8

Calculando o valor numérico:
theta approx arccos(79.2195) approx arccos(0.7593) approx 40.25^circ

Resposta

a) O produto escalar dos vetores a e b é 7.
b) O ângulo formado entre os vetores é aproximadamente 40,25^circ.

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a) o produto escalar destes vetores
b) o ângulo formado entre estes vetores
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