Dados os vetores u=(-2,-1,3), v=(2,1,3) determine
a) o produto escalar destes vetores
b) o ângulo formado entre estes vetores

Passo 1

Neste exercício, temos dois vetores no espaço tridimensional, u=(-2,-1,3) e v=(2,1,3). Vamos determinar:
a) O produto escalar desses vetores
b) O ângulo formado entre eles
Para resolver, vamos precisar usar a definição de produto escalar e a relação entre o produto escalar e o ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz

Passo 3

Substituindo os valores das componentes:
u cdot v = (-2)(2) + (-1)(1) + (3)(3) = -4 -1 +9 = 4

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo theta entre os vetores. A relação entre o produto escalar e o ângulo é dada por:
u cdot v = ||u|| , ||v|| cos(theta)
Onde ||u|| e ||v|| são os módulos (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Primeiro, calculamos os módulos dos vetores:
||u|| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 +1+9 = raiz14
||v|| = raiz2^2 +1^2 +3^2 = raiz4+1+9 = raiz14

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do ângulo:
4 = raiz14 cdot raiz14 cdot cos(theta) 4 = 14 cos(theta)

Passo 7

Isolando cos(theta):
cos(theta) = 414 = 27

Passo 8

Finalmente, calculamos o ângulo theta:
theta = arccos( 27 ) approx 73,4^circ

Resposta

a) O produto escalar é 4
b) O ângulo formado entre os vetores é aproximadamente 73,4^circ

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