Dados os vetores u=(2,-3,-1),, v=(1,-1,4) Calcular:
a) 2 u. (v)
b) (u+v) cdot(u-v)=
c) (u+v) cdot(v-u)=
d) (u+3 v) cdot(v-2 u)=

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de álgebra vetorial. Temos dois vetores no espaço tridimensional: u = (2, -3, -1) e v = (1, -1, 4). O que a gente precisa fazer é calcular alguns produtos internos (também conhecidos como produto escalar) envolvendo combinações desses vetores. Para resolver, vamos usar as propriedades do produto escalar e as operações básicas com vetores, como adição, subtração e multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos começar pelo item a) que pede para calcular 2u cdot v. Primeiro, precisamos entender que multiplicar um vetor por um escalar (número) significa multiplicar cada componente do vetor por esse número. Então, vamos calcular 2u:
2u = 2 times (2, -3, -1) = (4, -6, -2)
Agora, vamos calcular o produto escalar entre 2u e v.

Passo 3

O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso a 2u = (4, -6, -2) e v = (1, -1, 4):
2u cdot v = (4)(1) + (-6)(-1) + (-2)(4) = 4 + 6 - 8 = 2

Passo 4

Agora, vamos para o item b) que pede para calcular (u + v) cdot (u - v). Primeiro, vamos somar e subtrair os vetores:
u + v = (2 + 1, -3 + (-1), -1 + 4) = (3, -4, 3)
u - v = (2 - 1, -3 - (-1), -1 - 4) = (1, -2, -5)
Agora, calculamos o produto escalar desses dois novos vetores.

Passo 5

Aplicando a fórmula do produto escalar:
(u + v) cdot (u - v) = (3)(1) + (-4)(-2) + (3)(-5) = 3 + 8 - 15 = -4

Passo 6

No item c), temos (u + v) cdot (v - u). Observe que v - u = -(u - v). Então, podemos usar o resultado do item b):
(u + v) cdot (v - u) = (u + v) cdot (-1)(u - v) = -[(u + v) cdot (u - v)] = -(-4) = 4

Passo 7

Finalmente, no item d), precisamos calcular (u + 3v) cdot (v - 2u). Primeiro, vamos calcular cada combinação de vetores:
u + 3v = (2 + 3 times 1, -3 + 3 times (-1), -1 + 3 times 4) = (5, -6, 11)
v - 2u = (1 - 2 times 2, -1 - 2 times (-3), 4 - 2 times (-1)) = (1 - 4, -1 + 6, 4 + 2) = (-3, 5, 6)
Agora, aplicamos o produto escalar:
(u + 3v) cdot (v - 2u) = (5)(-3) + (-6)(5) + (11)(6) = -15 - 30 + 66 = 21

Resposta

a) 2u cdot v = 2
b) (u + v) cdot (u - v) = -4
c) (u + v) cdot (v - u) = 4
d) (u + 3v) cdot (v - 2u) = 21

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a) (u-3 v) cdot u=
b) (2 v-u) cdot 2 v=
c) (u+v) cdot(v-4 u)=
d) (3 u+4 v) cdot(-2 u-5 v)=
Dados os vetores u=(3,-1,2), v=(-2,2,1), calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por u e v;
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u