Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo O y, v cdot v1=8 e v cdot v2=-3, sendo v1=(3,1,-2) e v2=(-1,1,1)

Passo 1

Então, temos um exercício de álgebra vetorial onde precisamos encontrar um vetor v que seja perpendicular ao eixo Oy. Além disso, esse vetor deve satisfazer duas condições de produto escalar com outros vetores dados: v cdot v1 = 8 e v cdot v2 = -3, onde v1 = (3,1,-2) e v2 = (-1,1,1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, produto escalar e condições de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor v ser perpendicular ao eixo Oy. O eixo Oy é o eixo das ordenadas, ou seja, tem direção apenas no componente y. Se v é perpendicular a esse eixo, ele não tem componente na direção y. Portanto, podemos escrever v como:
v = (x, 0, z)
Aqui, x e z são componentes desconhecidas que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar as condições de produto escalar que nos foram dadas. O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é calculado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso às condições do problema:
  1. v cdot v1 = 8:
( x ) cdot 3 + (0) cdot 1 + (z) cdot (-2) = 8 3x - 2z = 8 [Equação 1] çã
  1. v cdot v2 = -3:
( x ) cdot (-1) + (0) cdot 1 + (z) cdot 1 = -3 - x + z = -3 [Equação 2] çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. 3x - 2z = 8
  2. -x + z = -3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da Equação 2, podemos expressar z em termos de x:
z = x - 3
Agora, substituímos essa expressão na Equação 1:
3x - 2(x - 3) = 8 3x - 2x + 6 = 8 x + 6 = 8 x = 2
Com o valor de x encontrado, voltamos para a expressão de z:
z = 2 - 3 z = -1

Resposta

Portanto, o vetor v que satisfaz todas as condições é:
v = (2, , 0, , -1)

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