Determinar o vetor
, ortogonal ao eixo
e
, sendo
Passo 1
Então, temos um exercício de álgebra vetorial onde precisamos encontrar um vetor
que seja perpendicular ao eixo
. Além disso, esse vetor deve satisfazer duas condições de produto escalar com outros vetores dados:
e
, onde
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, produto escalar e condições de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o vetor
ser perpendicular ao eixo
. O eixo
é o eixo das ordenadas, ou seja, tem direção apenas no componente y. Se
é perpendicular a esse eixo, ele não tem componente na direção y. Portanto, podemos escrever
como:
Aqui,
e
são componentes desconhecidas que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos usar as condições de produto escalar que nos foram dadas. O produto escalar entre dois vetores
e
é calculado por:
Aplicando isso às condições do problema:
-
:
-
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da Equação 2, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos essa expressão na Equação 1:
Com o valor de
encontrado, voltamos para a expressão de
:
Resposta
Portanto, o vetor
que satisfaz todas as condições é:
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, calcular:
Dados os vetores
e
, determine o vetor
tal que
(b)
(b)
Quais dos seguintes são subespaços de
(espaço das funções contínuas no intervalo
):
(a) Todas as funções contínuas que se anulam em 0 e 1.
(a) Todas as funções contínuas que se anulam em 0 e 1.
Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar:
.