Determinar o vetor , ortogonal ao eixo e , sendo

Passo 1

Então, temos um exercício de álgebra vetorial onde precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular ao eixo . Além disso, esse vetor deve satisfazer duas condições de produto escalar com outros vetores dados: e , onde e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, produto escalar e condições de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor ser perpendicular ao eixo . O eixo é o eixo das ordenadas, ou seja, tem direção apenas no componente y. Se é perpendicular a esse eixo, ele não tem componente na direção y. Portanto, podemos escrever como:
Aqui, e são componentes desconhecidas que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar as condições de produto escalar que nos foram dadas. O produto escalar entre dois vetores e é calculado por:
Aplicando isso às condições do problema:
  1. :
çã
  1. :
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da Equação 2, podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos essa expressão na Equação 1:
Com o valor de encontrado, voltamos para a expressão de :

Resposta

Portanto, o vetor que satisfaz todas as condições é:

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , calcular:
Dados os vetores e , determine o vetor tal que
(b)
Quais dos seguintes são subespaços de (espaço das funções contínuas no intervalo ):
(a) Todas as funções contínuas que se anulam em 0 e 1.
Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar: .