Dados os vetores:
u=2 i-j+3 k v=4 i+5 j-k w=3 i-j+m k
Calcular u x v
R: u x v=-14 i+14 j+14 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional:
u = 2i - j + 3k v = 4i + 5j - k w = 3i - j + mk
O que a gente precisa fazer aqui é calcular o produto vetorial entre os vetores u e v, que é representado por u times v. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores a = a1i + a2j + a3k e b = b1i + b2j + b3k é dado pelo determinante da seguinte matriz:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Isso significa que a gente calcula:
a times b = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos nossos vetores u e v:
u = 2i - j + 3k Rightarrow u1 = 2, u2 = -1, u3 = 3 v = 4i + 5j - k Rightarrow v1 = 4, v2 = 5, v3 = -1

Passo 4

Vamos calcular cada componente do produto vetorial u times v:
  1. Componente i:
u2v3 - u3v2 = (-1)(-1) - (3)(5) = 1 - 15 = -14
  1. Componente j:
-(u1v3 - u3v1) = -(2 cdot (-1) - 3 cdot 4) = -(-2 - 12) = -(-14) = 14
  1. Componente k:
u1v2 - u2v1 = 2 cdot 5 - (-1) cdot 4 = 10 + 4 = 14

Resposta

Portanto, o produto vetorial entre u e v é:
u times v = -14i + 14j + 14k

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