Escreva a cônica dada na forma padrāo, identifique e esboce-a. Inclua no esboço informações relevantes como centro, vértices, focos e reta diretriz no caso da parábola.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem a equação
e precisa escrevê-la na forma padrão de uma cônica. A matéria aqui envolve conic sections e completar o quadrado. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e completar o quadrado no termo do
.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar os termos que envolvem
. A gente começa movendo o
e o
para o outro lado da igualdade:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Lembra que para completar o quadrado de
, a gente adiciona e subtrai
. Aqui,
, então:
Passo 4
Simplificando ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para deixá-la mais clara:
Essa é a forma padrão da parábola.
Passo 6
Identificando os componentes da parábola:
- Vértice:
- A parábola abre para baixo porque o coeficiente de
é negativo. - Foco: Usamos a fórmula
, onde . Então, . O foco está unidades abaixo do vértice: . - Reta diretriz: É a linha
.
Passo 7
Para esboçar, a gente plota o vértice em
, desenha a parabola que abre para baixo, marca o foco em
e a reta diretriz em
.
Resposta
A equação na forma padrão é
. Ela representa uma parábola com vértice em
, foco em
, e reta diretriz em
. A parábola abre para baixo.