Escreva a cônica dada na forma padrāo, identifique e esboce-a. Inclua no esboço informações relevantes como centro, vértices, focos e reta diretriz no caso da parábola.
x^2-10 x+2 y+23=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem a equação e precisa escrevê-la na forma padrão de uma cônica. A matéria aqui envolve conic sections e completar o quadrado. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e completar o quadrado no termo do .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar os termos que envolvem x^2 - 10x = -2y - 23 . A gente começa movendo o e o para o outro lado da igualdade:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 10x + (-102)^2 = -2y - 23 + (-102)^2 . Lembra que para completar o quadrado de x^2 - 10x + 25 = -2y - 23 + 25 , a gente adiciona e subtrai . Aqui, , então:

Passo 4

Simplificando ambos os lados:
(x - 5)^2 = -2y + 2

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para deixá-la mais clara:
(x - 5)^2 = -2(y - 1)
Essa é a forma padrão da parábola.

Passo 6

Identificando os componentes da parábola:
  • Vértice:
  • A parábola abre para baixo porque o coeficiente de é negativo.
  • Foco: Usamos a fórmula , onde . Então, . O foco está unidades abaixo do vértice: .
  • Reta diretriz: É a linha .

Passo 7

Para esboçar, a gente plota o vértice em , desenha a parabola que abre para baixo, marca o foco em e a reta diretriz em .

Resposta

A equação na forma padrão é . Ela representa uma parábola com vértice em , foco em , e reta diretriz em . A parábola abre para baixo.

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