Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais das matrizes dadas são combinações lineares das matrizes , e . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de combinações lineares de vetores ou matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como verificar se uma matriz pode ser expressa como tal usando , e .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de matrizes , e é uma matriz que pode ser escrita na forma:
onde , e são escalares (números reais). Nossa tarefa é descobrir se uma dada matriz pode ser escrita dessa forma, ou seja, se existem esses escalares que satisfazem a equação.
Passo 3
Vamos assumir que queremos verificar se uma matriz específica é uma combinação linear de , e . Para isso, vamos montar um sistema de equações igualando os elementos correspondentes das matrizes. Por exemplo, se , então temos:
Isso resulta em quatro equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 5 & 1 0 & 2 , 4lambda1 + lambda2 = 5 - lambda2 + 2lambda3 = 1 -2lambda1 + 2lambda2 + lambda3 = 0 -2lambda1 + 3lambda2 + 4lambda3 = 2 e . Se conseguirmos encontrar uma solução que satisfaça todas as equações, então é uma combinação linear de , e . Caso contrário, não é.
Por exemplo, suponha que queremos verificar se é uma combinação linear de , e . Então nosso sistema fica:
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. A partir da segunda equação: