Quais dos seguintes são combinações lineares de
A=[rr 4 & 0 -2 & -2 ], B=[rr 1 & -1 2 & 3 ], C=[ll 0 & 2 1 & 4 ] ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais das matrizes dadas são combinações lineares das matrizes , e . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de combinações lineares de vetores ou matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como verificar se uma matriz pode ser expressa como tal usando , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de matrizes lambda1 A + lambda2 B + lambda3 C , e é uma matriz que pode ser escrita na forma:
onde , e são escalares (números reais). Nossa tarefa é descobrir se uma dada matriz pode ser escrita dessa forma, ou seja, se existem esses escalares que satisfazem a equação.

Passo 3

Vamos assumir que queremos verificar se uma matriz d11 & d12 d21 & d22 específica é uma combinação linear de lambda1 4 & 0 -2 & -2 + lambda2 1 & -1 2 & 3 + lambda3 0 & 2 1 & 4 = d11 & d12 d21 & d22 , 4lambda1 + 1lambda2 + 0lambda3 = d11 0lambda1 - 1lambda2 + 2lambda3 = d12 -2lambda1 + 2lambda2 + 1lambda3 = d21 -2lambda1 + 3lambda2 + 4lambda3 = d22 e . Para isso, vamos montar um sistema de equações igualando os elementos correspondentes das matrizes. Por exemplo, se , então temos:
Isso resulta em quatro equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 5 & 1 0 & 2 , 4lambda1 + lambda2 = 5 - lambda2 + 2lambda3 = 1 -2lambda1 + 2lambda2 + lambda3 = 0 -2lambda1 + 3lambda2 + 4lambda3 = 2 e . Se conseguirmos encontrar uma solução que satisfaça todas as equações, então é uma combinação linear de , e . Caso contrário, não é.
Por exemplo, suponha que queremos verificar se é uma combinação linear de , e . Então nosso sistema fica:

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. A partir da segunda equação:
- lambda2 + 2lambda3 = 1 implies lambda2 = 2lambda3 - 1
Substituindo 4lambda1 + (2lambda3 - 1) = 5 implies 4lambda1 + 2lambda3 = 6 implies 2lambda1 + lambda3 = 3 na primeira equação:
-2lambda1 + 2(2lambda3 - 1) + lambda3 = 0 implies -2lambda1 + 4lambda3 - 2 + lambda3 = 0 implies -2lambda1 + 5lambda3 = 2
Agora, substituindo 2lambda1 + lambda3 = 3 -2lambda1 + 5lambda3 = 2 na terceira equação:
(2lambda1 + lambda3) + (-2lambda1 + 5lambda3) = 3 + 2 implies 6lambda3 = 5 implies lambda3 = 56
Temos agora um sistema com duas equações:
2lambda1 + 56 = 3 implies 2lambda1 = 136 implies lambda1 = 1312
Somando as duas equações:
lambda2 = 2(56) - 1 = 106 - 1 = 46 = 23
Substituindo na primeira equação:
E substituindo na expressão para :

Resposta

Portanto, existe uma combinação linear de 5 & 1 0 & 2 , e que resulta em , com os coeficientes , e .

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