Seja o spin de um elétron descrito numa base bidimensional formada por versores |0rang<=,|1rang<=, no qual, |0rang<==binom10 e |1rang<==binom01. Seja o estado de spin de três elétrons escrito numa base de estados dada por todas as combinações possíveis para o produto externo de três spins (ou seja, |000rang<= equiv|0rang<= otimes|0rang<= otimes|0rang<=). Escreva esses estados da base em sua forma matricial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou fala sobre o spin de três elétrons e como descrevê-los usando produtos externos (ou produto tensorial) das bases de spin individuais. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente a parte que trata dos estados de spin e de como combinar múltiplos spins usando o produto tensorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produtos tensoriais e como aplicá-los para combinar as bases de spin dos três elétrons.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular as bases de spin individuais. Para um elétron, temos duas bases possíveis:
|0rang<= = 1 0
|1rang<= = 0 1
Esses vetores representam os estados de spin “para cima” e “para baixo”, respectivamente.

Passo 3

Agora, queremos descrever o estado de spin de três elétrons. Para isso, usamos o produto tensorial (ou produto externo) das bases individuais. O produto tensorial combina os estados individuais dos elétrons para formar um estado composto que descreve todos os três elétrons juntos.

Passo 4

Vamos entender como funciona o produto tensorial. Se temos dois vetores a1 a2 e b1 b2, o produto tensorial |arang<= otimes |brang<= = a1b1 a1b2 a2b1 a2b2 é dado por:
Isso expande os estados individuais em um vetor maior que combina todas as possibilidades.

Passo 5

Para três elétrons, aplicamos o produto tensorial três vezes. Ou seja, começamos com dois elétrons e, em seguida, aplicamos o produto tensorial com o terceiro. Por exemplo:
|0rang<= otimes |0rang<= otimes |0rang<=
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto tensorial dos dois primeiros elétrons:
|0rang<= otimes |0rang<= = 1 0 otimes 1 0 = 1 cdot 1 1 cdot 0 0 cdot 1 0 cdot 0 = 1 0 0 0
Agora, aplicamos o produto tensorial com o terceiro elétron:
1 0 0 0 otimes 1 0 = 1 cdot 1 1 cdot 0 0 cdot 1 0 cdot 0 0 cdot 1 0 cdot 0 0 cdot 1 0 cdot 0 = 1 0 0 0 0 0 0 0
Então, o estado |000rang<= = 1 0 0 0 0 0 0 0 é representado por:

Passo 7

Repetindo esse processo para todas as combinações possíveis de três elétrons, temos 8 estados diferentes, já que cada elétron tem 2 estados e .

Passo 8

Vamos listar todos os estados da base em forma matricial:
  1. Estado |000rang<= = 1 0 0 0 0 0 0 0 :
|001rang<= = 0 1 0 0 0 0 0 0
  1. Estado |010rang<= = 0 0 1 0 0 0 0 0 :
|011rang<= = 0 0 0 1 0 0 0 0
  1. Estado |100rang<= = 0 0 0 0 1 0 0 0 :
|101rang<= = 0 0 0 0 0 1 0 0
  1. Estado |110rang<= = 0 0 0 0 0 0 1 0 :
|111rang<= = 0 0 0 0 0 0 0 1
  1. Estado :
  1. Estado :
  1. Estado :
  1. Estado :

Resposta

Os estados da base para o spin de três elétrons, escritos em sua forma matricial, são:
|000rang<= &= 1 0 0 0 0 0 0 0, |001rang<= &= 0 1 0 0 0 0 0 0, |010rang<= &= 0 0 1 0 0 0 0 0, |011rang<= &= 0 0 0 1 0 0 0 0, |100rang<= &= 0 0 0 0 1 0 0 0, |101rang<= &= 0 0 0 0 0 1 0 0, |110rang<= &= 0 0 0 0 0 0 1 0, |111rang<= &= 0 0 0 0 0 0 0 1

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