Dados os vetores u=(2,-3) e v=(-1,4), determinar 3 u+2 v e 3 u-2 v.
Determinar o vetor x na igualdade 3 x+2 u=12 v+x, sendo dados u=(3,-1) e v=(-2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores que envolve combinações lineares e equações com vetores. A gente vai precisar saber como multiplicar vetores por números (escalares) e como somar ou subtrair esses vetores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular u = (2, -3) e v = (-1, 4) .
Temos:
3 u = 3 times (2, -3) = (6, -9)
Multiplicando os vetores pelos escalares:
2 v = 2 times (-1, 4) = (-2, 8)
3 u + 2 v = (6, -9) + (-2, 8) = (6 + (-2), -9 + 8) = (4, -1)
Agora, somamos os resultados:

Passo 3

Agora, vamos calcular 3 u = (6, -9) .
Já temos:
2 v = (-2, 8)
3 u - 2 v = (6, -9) - (-2, 8) = (6 - (-2), -9 - 8) = (8, -17)
Subtraindo os vetores:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação 3 x + 2 u = 12 v + x para encontrar o vetor 3 x - x + 2 u = 12 v .
Primeiro, vamos isolar 2 x + 2 u = 12 v na equação:
2 x = 12 v - 2 u
Subtraindo x = 14 v - u de ambos os lados:
u = (3, -1) e v = (-2, 4)
14 v = 14 times (-2, 4) = ( -24, 44 ) = ( -12, 1 )
Subtraindo x = ( -12, 1 ) - (3, -1) = ( -12 - 3, 1 - (-1) ) = ( -72, 2 ) de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, substituímos os valores dos vetores:
Calculando :
Subtraindo :

Resposta

3 u + 2 v = (4, -1), 3 u - 2 v = (8, -17) e x = ( -72, 2 )

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