Dados os vetores e , determinar:
Um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a e a .
Resp: ou
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores e e que tenha um módulo de 5. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial para encontrar um vetor perpendicular a ambos e depois ajustar seu tamanho para que tenha módulo 5.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos e . Para isso, usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é ortogonal a ambos os vetores iniciais.
Vamos calcular :
Passo 3
Agora, resolvendo o determinante:
u times v = i(1 cdot 2 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 2 - 0 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - (-1) cdot 1)
Simplificando:
u times v = i(2) - j(2) + k(2) = (2, -2, 2)
Então, um vetor que é ortogonal a u e v é w = (2, -2, 2).
Passo 4
Agora, precisamos ajustar o módulo desse vetor para que seja igual a 5. Primeiro, calculamos o módulo de w:
Para ajustar o módulo para 5, vamos normalizar o vetor w e depois multiplicá-lo por 5. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo: