Dados os vetores u=(1,1,0) e v=(-1,1,2), determinar:
Um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u e a v.
Resp: (5raiz3,-5raiz3, 5raiz3) ou (-5raiz3, 5raiz3,-5raiz3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores u = (1, 1, 0) e v = (-1, 1, 2) e que tenha um módulo de 5. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial para encontrar um vetor perpendicular a ambos e depois ajustar seu tamanho para que tenha módulo 5.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos u e v. Para isso, usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é ortogonal a ambos os vetores iniciais.
Vamos calcular u times v:
u times v = i & j & k 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 2

Passo 3

Agora, resolvendo o determinante:
u times v = i(1 cdot 2 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 2 - 0 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - (-1) cdot 1)
Simplificando:
u times v = i(2) - j(2) + k(2) = (2, -2, 2)
Então, um vetor que é ortogonal a u e v é w = (2, -2, 2).

Passo 4

Agora, precisamos ajustar o módulo desse vetor para que seja igual a 5. Primeiro, calculamos o módulo de w:
|w| = raiz2^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3

Passo 5

Para ajustar o módulo para 5, vamos normalizar o vetor w e depois multiplicá-lo por 5. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo:
wunit = ( 22raiz3, -22raiz3, 22raiz3 ) = ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 )
Multiplicando pelo módulo desejado (5):
wfinal = 5 cdot wunit = ( 5raiz3, -5raiz3, 5raiz3 )

Resposta

Um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u e a v é (5raiz3, -5raiz3, 5raiz3) ou (-5raiz3, 5raiz3, -5raiz3).

Exercícios relacionados

Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Existe uma transformação linear T: R^3 P2(R) que é sobrejetora
Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede 2 cm. Sendo de 30^circ o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC, calcule:
|B A times B C| Resp:2 raiz3
Seja w in R^2 um vetor não nulo fixo. A projeção ortogonal de um vetor arbitrário u in R^2 na reta que contém o vetor w é dado por
projw u=lang<= u, wrang<=lang<= w, wrang<= w
A função F(u)=projw u é uma transformação linear? Justifique sua resposta.
Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede 2 cm. Sendo de 30^circ o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC, calcule:
|A B times D C| Resp: 0