Seja
um vetor não nulo fixo. A projeção ortogonal de um vetor arbitrário
na reta que contém o vetor
é dado por
A função
é uma transformação linear? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor fixo
no plano
e a projeção ortogonal de qualquer vetor
nesse plano na direção de
. A fórmula da projeção é dada por:
O conteúdo envolvido aqui é Transformação Linear. Precisamos verificar se a função
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição vetorial:
para todo . - Multiplicação por escalar:
para todo e .
Vamos verificar se
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição vetorial. Seja
e
dois vetores quaisquer em
. Então:
Usando a propriedade de linearidade do produto interno, sabemos que:
Portanto:
Isso confirma que a propriedade da adição vetorial é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
um vetor em
. Então:
Novamente, usando a propriedade de linearidade do produto interno:
Portanto:
Isso confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a propriedade da adição vetorial quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear.