Seja w in R^2 um vetor não nulo fixo. A projeção ortogonal de um vetor arbitrário u in R^2 na reta que contém o vetor w é dado por
projw u=lang<= u, wrang<=lang<= w, wrang<= w
A função F(u)=projw u é uma transformação linear? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor fixo projw u = lang<= u, w rang<=lang<= w, w rang<= w no plano e a projeção ortogonal de qualquer vetor nesse plano na direção de . A fórmula da projeção é dada por:
O conteúdo envolvido aqui é Transformação Linear. Precisamos verificar se a função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição vetorial: para todo .
  2. Multiplicação por escalar: para todo e .
Vamos verificar se satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição vetorial. Seja F(u + v) = projw (u + v) = lang<= u + v, w rang<=lang<= w, w rang<= w e lang<= u + v, w rang<= = lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<= dois vetores quaisquer em F(u + v) = lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<=lang<= w, w rang<= w = lang<= u, w rang<=lang<= w, w rang<= w + lang<= v, w rang<=lang<= w, w rang<= w = F(u) + F(v) . Então:
Usando a propriedade de linearidade do produto interno, sabemos que:
Portanto:
Isso confirma que a propriedade da adição vetorial é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja F(alpha u) = projw (alpha u) = lang<= alpha u, w rang<=lang<= w, w rang<= w um escalar qualquer e lang<= alpha u, w rang<= = alpha lang<= u, w rang<= um vetor em F(alpha u) = alpha lang<= u, w rang<=lang<= w, w rang<= w = alpha ( lang<= u, w rang<=lang<= w, w rang<= w ) = alpha F(u) . Então:
Novamente, usando a propriedade de linearidade do produto interno:
Portanto:
Isso confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a propriedade da adição vetorial quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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