Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede . Sendo de o ângulo entre o lado e a diagonal maior , calcule: Resp: 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um losango com lados de 2 cm e um ângulo de 30 graus entre o lado AB e a diagonal maior AC. A matéria que vamos usar envolve vetores e produto vetorial. Precisamos calcular o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender os vetores envolvidos. No losango, as diagonais se bissetam e são perpendiculares. Como AB tem 2 cm e o ângulo entre AB e AC é 30°, podemos decompor os vetores.
Passo 3
Vamos considerar AB como um vetor no plano. Se representarmos AB como cm, então a diagonal AC, que faz 30° com AB, terá componentes .
Passo 4
Calculando:
cos30° = raiz32, sin30° = 12
Então,
AC = (2 times raiz32, 2 times 12) = (raiz3, 1) cm
Passo 5
A diagonal DC é o oposto de AC no losango, então:
DC = -AC = (-raiz3, -1) cm
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times DC = (2)(-1) - (0)(-raiz3) = -2 - 0 = -2 . Em duas dimensões, o produto vetorial é dado por:
|AB times DC| = | -2 | = 2
Mas como estamos falando do módulo desse produto, temos:
No entanto, considerando que as diagonais de um losango são perpendiculares, o produto vetorial entre vetores de lados adjacentes que compartilham um vértice será zero, já que eles se aplainam no mesmo plano sem criar volume.