Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede 2 cm. Sendo de 30^circ o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC, calcule:
|A B times D C| Resp: 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um losango com lados de 2 cm e um ângulo de 30 graus entre o lado AB e a diagonal maior AC. A matéria que vamos usar envolve vetores e produto vetorial. Precisamos calcular o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os vetores envolvidos. No losango, as diagonais se bissetam e são perpendiculares. Como AB tem 2 cm e o ângulo entre AB e AC é 30°, podemos decompor os vetores.

Passo 3

Vamos considerar AB como um vetor no plano. Se representarmos AB como cm, então a diagonal AC, que faz 30° com AB, terá componentes .

Passo 4

Calculando:
cos30° = raiz32, sin30° = 12
Então,
AC = (2 times raiz32, 2 times 12) = (raiz3, 1) cm

Passo 5

A diagonal DC é o oposto de AC no losango, então:
DC = -AC = (-raiz3, -1) cm

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times DC = (2)(-1) - (0)(-raiz3) = -2 - 0 = -2 . Em duas dimensões, o produto vetorial é dado por:
|AB times DC| = | -2 | = 2
Mas como estamos falando do módulo desse produto, temos:
No entanto, considerando que as diagonais de um losango são perpendiculares, o produto vetorial entre vetores de lados adjacentes que compartilham um vértice será zero, já que eles se aplainam no mesmo plano sem criar volume.

Resposta

0

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