Seja um operador linear em um espaço vetorial para o qual . Mostre que: .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um operador linear em um espaço vetorial que satisfaz a condição . O objetivo é mostrar que o espaço pode ser decomposto em uma soma direta do núcleo de () e a imagem de ().
Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos de álgebra linear, como operadores lineares, núcleo, imagem e soma direta de subespaços. Vamos passo a passo para entender e demonstrar essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa . Isso quer dizer que, se aplicarmos o operador duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicar uma vez. Em outras palavras, é um operador idempotente.
Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que são o núcleo e a imagem de um operador linear.
Núcleo (Ker(T)): Conjunto de todos os vetores em tal que .
Imagem (Im(T)): Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de .
Passo 4
Queremos mostrar que todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor no núcleo de e um vetor na imagem de . Ou seja, .
Para isso, precisamos mostrar duas coisas:
Existência: Todo pode ser escrito como , onde e .
Unicidade: A interseção entre e é somente o vetor zero, ou seja, .
Passo 5
Vamos começar com a existência. Seja . Vamos definir:
Como é a imagem de por , então .
Agora, definimos:
Vamos verificar se está no núcleo de :
Portanto, . Assim, , com e .
Passo 6
Agora, vamos verificar a unicidade, ou seja, que .
Seja um vetor que pertence a ambos os conjuntos:
Como , existe algum tal que .
Como , temos:
Portanto, . Isso mostra que a única interseção entre e é o vetor zero.
Resposta
Concluímos que , ou seja, todo vetor em pode ser único e exclusivamente decomposto em um elemento do núcleo de e um elemento da imagem de .