Seja T um operador linear em um espaço vetorial V para o qual T^2=T. Mostre que:
V=Ker(T) oplus Im(T).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um operador linear em um espaço vetorial que satisfaz a condição . O objetivo é mostrar que o espaço pode ser decomposto em uma soma direta do núcleo de ( ) e a imagem de ( ).
Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos de álgebra linear, como operadores lineares, núcleo, imagem e soma direta de subespaços. Vamos passo a passo para entender e demonstrar essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa T^2(v) = T(T(v)) = T(v) para todo v in V . Isso quer dizer que, se aplicarmos o operador duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicar uma vez. Em outras palavras, é um operador idempotente.
Matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que são o núcleo e a imagem de um operador linear.
  • Núcleo (Ker(T)): Conjunto de todos os vetores Ker(T) = v in V mid T(v) = 0 em Im(T) = T(v) mid v in V tal que .
  • Imagem (Im(T)): Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de .

Passo 4

Queremos mostrar que todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor no núcleo de e um vetor na imagem de . Ou seja, .
Para isso, precisamos mostrar duas coisas:
  1. Existência: Todo pode ser escrito como , onde e .
  2. Unicidade: A interseção entre e é somente o vetor zero, ou seja, .

Passo 5

Vamos começar com a existência. Seja w = T(v) . Vamos definir:
u = v - w = v - T(v)
Como T(u) = T(v - T(v)) = T(v) - T^2(v) = T(v) - T(v) = 0 é a imagem de por , então .
Agora, definimos:
Vamos verificar se está no núcleo de :
Portanto, . Assim, , com e .

Passo 6

Agora, vamos verificar a unicidade, ou seja, que x in Ker(T) e x in Im(T) .
Seja T(x) = 0 Rightarrow T(T(v)) = T^2(v) = T(v) = x = 0 um vetor que pertence a ambos os conjuntos:
Como , existe algum tal que .
Como , temos:
Portanto, . Isso mostra que a única interseção entre e é o vetor zero.

Resposta

Concluímos que , ou seja, todo vetor em pode ser único e exclusivamente decomposto em um elemento do núcleo de e um elemento da imagem de .

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