Seja
um operador linear em um espaço vetorial
para o qual
. Mostre que:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um operador linear
em um espaço vetorial
que satisfaz a condição
. O objetivo é mostrar que o espaço
pode ser decomposto em uma soma direta do núcleo de
(
) e a imagem de
(
).
Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos de álgebra linear, como operadores lineares, núcleo, imagem e soma direta de subespaços. Vamos passo a passo para entender e demonstrar essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa
. Isso quer dizer que, se aplicarmos o operador
duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicar uma vez. Em outras palavras,
é um operador idempotente.
Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que são o núcleo e a imagem de um operador linear.
-
Núcleo (Ker(T)): Conjunto de todos os vetores
em tal que . -
Imagem (Im(T)): Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de .
Passo 4
Queremos mostrar que todo vetor
em
pode ser escrito como a soma de um vetor no núcleo de
e um vetor na imagem de
. Ou seja,
.
Para isso, precisamos mostrar duas coisas:
- Existência: Todo
pode ser escrito como , onde e . - Unicidade: A interseção entre
e é somente o vetor zero, ou seja, .
Passo 5
Vamos começar com a existência. Seja
. Vamos definir:
Como
é a imagem de
por
, então
.
Agora, definimos:
Vamos verificar se
está no núcleo de
:
Portanto,
. Assim,
, com
e
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a unicidade, ou seja, que
.
Seja
um vetor que pertence a ambos os conjuntos:
Como
, existe algum
tal que
.
Como
, temos:
Portanto,
. Isso mostra que a única interseção entre
e
é o vetor zero.
Resposta
Concluímos que
, ou seja, todo vetor em
pode ser único e exclusivamente decomposto em um elemento do núcleo de
e um elemento da imagem de
.