Dados os vetores u= (1,1,0) e v=(-1,1,2) determinar :
a) um vetot unitario simultaneamente ortogonal a U e V.
b) um vetor de modulo 5simultaneamente ortogonal a U e V.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de vetores aqui. Você tem dois vetores, u = (1, 1, 0) e v = (-1, 1, 2), e precisa encontrar:
a) Um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente a u e v.
b) Um vetor com módulo 5 que também seja ortogonal a u e v.
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o produto vetorial, para resolver isso. Precisaremos calcular o produto cruzado dos vetores u e v, que nos dá um vetor perpendicular a ambos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial (u × v) dos vetores u e v. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
A fórmula para o produto vetorial é:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Onde i, j, e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com nossos vetores u = (1, 1, 0) e v = (-1, 1, 2):
u times v = i & j & k 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 2
Calculando o determinante:
u times v = i(1 cdot 2 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 2 - 0 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 1 cdot (-1))
= i(2) - j(2) + k(2)
= (2, -2, 2)
Então, o vetor resultante do produto vetorial é w = (2, -2, 2).

Passo 4

Agora, para o item a), precisamos de um vetor unitário. Isso significa que o vetor deve ter módulo 1. Para isso, vamos dividir o vetor w pelo seu próprio módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de w:
|w| = raiz2^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3
Agora, o vetor unitário u₁ é:
u1 = w|w| = ( 22raiz3, -22raiz3, 22raiz3 ) = ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 )

Passo 5

Para o item b), queremos um vetor com módulo 5 que seja ortogonal a u e v. Já que o vetor w = (2, -2, 2) é ortogonal a ambos, vamos escalá-lo para ter o módulo desejado.
Sabemos que:
|w| = 2raiz3
Queremos um vetor w₅ tal que:
|w5| = 5
Isso significa que:
w5 = w times 5|w| = w times 52raiz3 = (2 times 52raiz3, -2 times 52raiz3, 2 times 52raiz3)
= ( 5raiz3, -5raiz3, 5raiz3 )

Resposta

a) Um vetor unitário ortogonal a u e v é ( dfrac1raiz3, dfrac-1raiz3, dfrac1raiz3 ).
b) Um vetor com módulo 5 ortogonal a u e v é ( dfrac5raiz3, dfrac-5raiz3, dfrac5raiz3 ).

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