Dados os vetores x, y, z in R^2, determine escalares a, b in R tais que a x+b y=z.
© x=(1,0), y=(5,1), z=(1, 12)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar dois números, chamados de escalares a e b, que, quando multiplicados pelos vetores x = (1,0) e y = (5,1), respectivamente, somados resultem no vetor z = (1, 12). A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente a combinação linear de vetores. Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação a x + b y = z em termos das suas componentes. Isso significa que:
a cdot 1 + b cdot 5 = 1 (componente x)
a cdot 0 + b cdot 1 = 12 (componente y)
Assim, temos o seguinte sistema de equações:
a + 5b = 1 0a + b = 12

Passo 3

Vamos resolver o sistema. Começamos pela segunda equação, que já está simplificada:
b = 12
Agora que sabemos o valor de b, podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar a:
a + 5 cdot 12 = 1
a + 52 = 1

Passo 4

Agora, isolamos a na equação:
a = 1 - 52
a = 22 - 52
a = -32

Resposta

Os escalares são a = -32 e b = 12.

Exercícios relacionados

Dados os vetores x, y in R^2, determine escalares a, b in R não todos nulos tais que a x+b y=0.
© x=(-2,5), y=(1, raiz2)
Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
c) raiz8(p+raiz2)^3
Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
d) p-6(p-1)^2+4
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(a) V=x in R^2 mid x1=x2