Dados os vetores x, y in R^2, determine escalares a, b in R não todos nulos tais que a x+b y=0.
© x=(-2,5), y=(1, raiz2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no plano, e . A ideia é encontrar dois números, e , que não sejam ambos zero, de modo que a combinação linear desses vetores, ou seja, , seja igual ao vetor nulo . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre combinações lineares e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação que representa a combinação linear:
a cdot (-2, 5) + b cdot (1, raiz2) = (0, 0)
Isso significa que cada componente resultante deve ser igual a zero. Então, vamos separar as componentes:
-2a + b = 0 (1)
5a + raiz2 b = 0 (2)

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar b = 2a e . Da primeira equação (1), podemos isolar :

Passo 4

Substituímos o valor de 5a + raiz2 cdot (2a) = 0 encontrado na equação (1) na segunda equação (2):
5a + 2raiz2 , a = 0
Simplificando:
a (5 + 2raiz2) = 0

Passo 5

Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Como a = 0 é um número positivo diferente de zero, temos que:

Passo 6

Com b = 2a = 2 cdot 0 = 0 , substituímos de volta na expressão que encontramos para :

Resposta

Os escalares são e . Ou seja, a única solução é a trivial onde ambos os escalares são zero.

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