Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(a) V=x in R^2 mid x1=x2

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre os números reais. Isso faz parte do conteúdo de espaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial, usando as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa cumprir certas regras, chamadas de axiomas. Essas regras incluem fechar o conjunto sob adição e multiplicação por escalar, ter um vetor zero, existir inversos aditivos, e outras propriedades como associatividade e distributividade. Vamos checar cada uma delas para .

Passo 3

1. Fechamento sob adição:
Pegue dois vetores quaisquer em , digamos e . Como e estão em , temos e . A soma deles é . Como e , então , ou seja, também está em .
2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegue um vetor em e um escalar . A multiplicação por escalar é . Como , então , o que significa que também está em .
3. Presença do vetor zero:
O vetor zero em é . Claramente, , então está em .
4. Existência de inversos aditivos:
Para qualquer em , queremos um vetor tal que . Como , também , então está em .
5. Associatividade da adição:
Para quaisquer , . Isso é sempre verdadeiro em , então válida para .
6. Comutatividade da adição:
Para quaisquer , . Também válido pelo mesmo motivo acima.
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para qualquer escalar e vetores , . Válido por propriedades das operações em .
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para quaisquer escalares e vetor , . Também válido.
9. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
Para quaisquer escalares e vetor , . Válido.
10. Existência do escalar identidade:
Existe um escalar tal que para todo . Claro que isso é verdadeiro.

Resposta

Então, verificando todas as propriedades, concluímos que é de fato um espaço vetorial real sob as operações usuais.

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Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
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