Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial sobre os números reais. Isso faz parte do conteúdo de espaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial, usando as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa cumprir certas regras, chamadas de axiomas. Essas regras incluem fechar o conjunto sob adição e multiplicação por escalar, ter um vetor zero, existir inversos aditivos, e outras propriedades como associatividade e distributividade. Vamos checar cada uma delas para
.
Passo 3
1. Fechamento sob adição:
Pegue dois vetores quaisquer em , digamos
e
. Como
e
estão em
, temos
e
. A soma deles é
. Como
e
, então
, ou seja,
também está em
.
Pegue dois vetores quaisquer em
2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegue um vetor em
e um escalar
. A multiplicação por escalar é
. Como
, então
, o que significa que
também está em
.
Pegue um vetor
3. Presença do vetor zero:
O vetor zero em é
. Claramente,
, então
está em
.
O vetor zero em
4. Existência de inversos aditivos:
Para qualquer em
, queremos um vetor
tal que
. Como
, também
, então
está em
.
Para qualquer
5. Associatividade da adição:
Para quaisquer ,
. Isso é sempre verdadeiro em
, então válida para
.
Para quaisquer
6. Comutatividade da adição:
Para quaisquer ,
. Também válido pelo mesmo motivo acima.
Para quaisquer
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para qualquer escalar e vetores
,
. Válido por propriedades das operações em
.
Para qualquer escalar
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para quaisquer escalares e vetor
,
. Também válido.
Para quaisquer escalares
9. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
Para quaisquer escalares e vetor
,
. Válido.
Para quaisquer escalares
10. Existência do escalar identidade:
Existe um escalar tal que
para todo
. Claro que isso é verdadeiro.
Existe um escalar
Resposta
Então, verificando todas as propriedades, concluímos que
é de fato um espaço vetorial real sob as operações usuais.
Exercícios relacionados
Dada
, obtenha
.
d)
d)
Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
©
©
Seja
a transformada de Laplace de uma função
, que é contínua para
e satisfaz à restrição de crescimento
. Mostre que, para
e
Use isto para encontrar uma função
cuja transformada é b)
.
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(b)
(b)