Sejam e . Considere o operador linear tal que . Determine se é auto-adjunto ou ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar se um operador linear é auto-adjunto ou ortogonal. Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores auto-adjuntos e ortogonais, além de saber representar o operador como uma matriz. Vamos dar um jeito de descobrir se essa matriz é simétrica (para ser auto-adjunto) ou se satisfaz a condição de ser ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, mapeia vetores de para .
Passo 3
Para entender se é auto-adjunto ou ortogonal, precisamos representar como uma matriz. Como é definido pelas imagens de três vetores (), vamos usar esses vetores como colunas da matriz de . Assim, nossa matriz será:
Passo 4
Agora, vamos verificar se A^T = 10 & -2 & -2 -2 & 10 & -2 1 & 1 & -5 é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = 10 & -2 & 1 -2 & 10 & 1 -2 & -2 & -5 neq A^T . Calculando a transposta de :
Comparando com :
Então, não é simétrica. Isso significa que não é auto-adjunto.