Sejam u=(4,4,2), v=(4,-2,4) e w=(1,-2,-2). Considere o operador linear T: R^3 R^3 tal que T(u)=(10,-2,-2), T(v)=(-2,10,-2) e T(w)=(1,1,-5). Determine se T é auto-adjunto ou ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar se um operador linear é auto-adjunto ou ortogonal. Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores auto-adjuntos e ortogonais, além de saber representar o operador como uma matriz. Vamos dar um jeito de descobrir se essa matriz é simétrica (para ser auto-adjunto) ou se satisfaz a condição de ser ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, mapeia vetores de para .

Passo 3

Para entender se A = T(u) & T(v) & T(w) = 10 & -2 & 1 -2 & 10 & 1 -2 & -2 & -5 é auto-adjunto ou ortogonal, precisamos representar como uma matriz. Como é definido pelas imagens de três vetores ( ), vamos usar esses vetores como colunas da matriz de . Assim, nossa matriz será:

Passo 4

Agora, vamos verificar se A^T = 10 & -2 & -2 -2 & 10 & -2 1 & 1 & -5 é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = 10 & -2 & 1 -2 & 10 & 1 -2 & -2 & -5 neq A^T . Calculando a transposta de :
Comparando com :
Então, não é simétrica. Isso significa que não é auto-adjunto.

Passo 5

Agora, vamos verificar se A^T A = 10 & -2 & -2 -2 & 10 & -2 1 & 1 & -5 10 & -2 & 1 -2 & 10 & 1 -2 & -2 & -5 é ortogonal. Uma matriz é ortogonal se satisfaz A^T A = 10(10) + (-2)(-2) + (-2)(-2) & 10(-2) + (-2)(10) + (-2)(-2) & 10(1) + (-2)(1) + (-2)(-5) -2(10) + 10(-2) + (-2)(-2) & (-2)(-2) + 10(10) + (-2)(-2) & (-2)(1) + 10(1) + (-2)(-5) 1(10) + 1(-2) + (-5)(-2) & 1(-2) + 1(10) + (-5)(-2) & 1(1) + 1(1) + (-5)(-5) , onde A^T A = 100 + 4 + 4 & -20 -20 + 4 & 10 -2 + 10 -20 -20 + 4 & 4 + 100 + 4 & -2 + 10 + 10 10 -2 + 10 & -2 + 10 + 10 & 1 + 1 + 25 = 108 & -36 & 18 -36 & 108 & 18 18 & 18 & 27 é a matriz identidade. Vamos calcular :
Calculando a multiplicação:
Simplificando cada elemento:
Como não é igual à matriz identidade , não é ortogonal.

Resposta

O operador linear não é nem auto-adjunto nem ortogonal.

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