Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: , e . Precisamos encontrar um vetor que satisfaça as seguintes condições:
Aqui, o “·” representa o produto escalar (ou produto ponto) entre dois vetores. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e montar um sistema de equações para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos e , então:
Vamos aplicar isso nas três equações que temos.
Passo 3
Vamos escrever cada equação do sistema usando a definição do produto escalar:
Para :
Simplificando:
çã
Para :
Simplificando:
çã
Para :
Simplificando:
çã
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar expressar uma variável em termos das outras usando uma das equações mais simples.
Vamos começar com a Equação 3:
Podemos isolar :
ã
Passo 5
Agora, vamos usar a Equação 2 para expressar em termos de :
Isolando :
ã
Passo 6
Com as expressões de e em termos de , podemos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar .
Equação 1:
Substituindo e :
Vamos simplificar passo a passo:
Distribuir os números:
Combinar termos semelhantes:
Isolar :
Passo 7
Agora que temos o valor de , podemos encontrar e usando as expressões que desenvolvemos anteriormente.