Dados os vetores e , determine o vetor tal que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: , e . Precisamos encontrar um vetor que satisfaça as seguintes condições:
Aqui, o “·” representa o produto escalar (ou produto ponto) entre dois vetores. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e montar um sistema de equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos e , então:
Vamos aplicar isso nas três equações que temos.

Passo 3

Vamos escrever cada equação do sistema usando a definição do produto escalar:
  1. Para :
    Simplificando:
    çã
  2. Para :
    Simplificando:
    çã
  3. Para :
    Simplificando:
    çã
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar expressar uma variável em termos das outras usando uma das equações mais simples.
Vamos começar com a Equação 3:
Podemos isolar :
ã

Passo 5

Agora, vamos usar a Equação 2 para expressar em termos de :
Isolando :
ã

Passo 6

Com as expressões de e em termos de , podemos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar .
Equação 1:
Substituindo e :
Vamos simplificar passo a passo:
  1. Distribuir os números:
  2. Combinar termos semelhantes:
  3. Isolar :

Passo 7

Agora que temos o valor de , podemos encontrar e usando as expressões que desenvolvemos anteriormente.
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

O vetor que satisfaz as condições dadas é:

Exercícios relacionados

  1. Dados e , determine os vetores tais que:
    e .
Escreva o vetor còmo combinação linear na base ortonormal de abaixo com o produto interno indicado:
com relaçāo à base ortonormal de , no produto interno
Resolva os sistemas lineares abaixo e esboce os gráficos correspondentes às suas equações: (b)