Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: u = (1, 2, -3), v = (2, 0, 1) e w = (3, 1, 0). Precisamos encontrar um vetor a = (x, y, z) que satisfaça as seguintes condições:
l a cdot u = -16 a cdot v = 0 a cdot w = 3
Aqui, o “·” representa o produto escalar (ou produto ponto) entre dois vetores. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e montar um sistema de equações para encontrar os valores de x, y e z.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos a = (x, y, z) e b = (b1, b2, b3), então:
a cdot b = x cdot b1 + y cdot b2 + z cdot b3
Vamos aplicar isso nas três equações que temos.
Passo 3
Vamos escrever cada equação do sistema usando a definição do produto escalar:
Para a cdot u = -16:
x cdot 1 + y cdot 2 + z cdot (-3) = -16
Simplificando:
x + 2y - 3z = -16 (Equação 1) çã
Para a cdot v = 0:
x cdot 2 + y cdot 0 + z cdot 1 = 0
Simplificando:
2x + z = 0 (Equação 2) çã
Para a cdot w = 3:
x cdot 3 + y cdot 1 + z cdot 0 = 3
Simplificando:
3x + y = 3 (Equação 3) çã
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
l x + 2y - 3z = -16 2x + z = 0 3x + y = 3
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar expressar uma variável em termos das outras usando uma das equações mais simples.
Vamos começar com a Equação 3:
3x + y = 3
Podemos isolar y:
y = 3 - 3x (Expressão para y ) ã
Passo 5
Agora, vamos usar a Equação 2 para expressar z em termos de x:
2x + z = 0
Isolando z:
z = -2x (Expressão para z ) ã
Passo 6
Com as expressões de y e z em termos de x, podemos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar x.
Equação 1:
x + 2y - 3z = -16
Substituindo y = 3 - 3x e z = -2x:
x + 2(3 - 3x) - 3(-2x) = -16
Vamos simplificar passo a passo:
Distribuir os números:
x + 6 - 6x + 6x = -16
Combinar termos semelhantes:
(x - 6x + 6x) + 6 = -16 x + 6 = -16
Isolar x:
x = -16 - 6 x = -22
Passo 7
Agora que temos o valor de x, podemos encontrar y e z usando as expressões que desenvolvemos anteriormente.