Escreva o vetor
còmo combinação linear na base ortonormal
de
abaixo com o produto interno indicado:
com relaçāo à base ortonormal
de
, no produto interno
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor
que pertence ao espaço
. A gente quer escrever esse vetor como uma combinação linear da base ortonormal
. Para fazer isso, precisamos entender o que é uma base ortonormal e como usar o produto interno dado, que é:
Então, vamos precisar lembrar como encontrar os coeficientes dessa combinação usando essas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal significa que cada vetor da base tem norma 1 e que vetores diferentes são ortogonais entre si. Isso facilita bastante, porque para achar os coeficientes da combinação linear, basta calcular o produto interno do vetor
com cada vetor da base.
Então, queremos escrever:
Onde
e
são os coeficientes que vamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar
, vamos calcular o produto interno de
com o primeiro vetor da base, que é
:
Vamos resolver essa integral:
Passo 4
Agora, para encontrar
, fazemos o mesmo processo, mas com o segundo vetor da base
:
Primeiro, vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
Portanto, o vetor
escrito como combinação linear na base ortonormal
é:
Simplificando o segundo termo:
O que confirma que
foi escrito corretamente na base
.