Escreva o vetor v in V còmo combinação linear na base ortonormal beta de V abaixo com o produto interno indicado:
y=1+1 in P1(R t) com relaçāo à base ortonormal beta=1, raiz3(2 t-1)) de P1(R), no produto interno
(h1, h2)=integral0^1 h1(t) h2(t) d t1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor (h1, h2) = integral0^1 h1(t) h2(t) , dt que pertence ao espaço . A gente quer escrever esse vetor como uma combinação linear da base ortonormal . Para fazer isso, precisamos entender o que é uma base ortonormal e como usar o produto interno dado, que é:
Então, vamos precisar lembrar como encontrar os coeficientes dessa combinação usando essas ferramentas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal significa que cada vetor da base tem norma 1 e que vetores diferentes são ortogonais entre si. Isso facilita bastante, porque para achar os coeficientes da combinação linear, basta calcular o produto interno do vetor v = c1 cdot 1 + c2 cdot raiz3(2t - 1) com cada vetor da base.
Então, queremos escrever:
Onde e são os coeficientes que vamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar c1 = (v, 1) = integral0^1 (1 + t) cdot 1 , dt , vamos calcular o produto interno de c1 = integral0^1 (1 + t) , dt = [ t + t^22 ]0^1 = (1 + 12) - (0 + 0) = 32 com o primeiro vetor da base, que é :
Vamos resolver essa integral:

Passo 4

Agora, para encontrar c2 = (v, raiz3(2t - 1)) = raiz3 integral0^1 (1 + t)(2t - 1) , dt , fazemos o mesmo processo, mas com o segundo vetor da base (1 + t)(2t - 1) = 2t - 1 + 2t^2 - t = 2t^2 + t - 1 :
c2 = raiz3 integral0^1 (2t^2 + t - 1) , dt = raiz3 [ 2t^33 + t^22 - t ]0^1 = raiz3 ( 23 + 12 - 1 )
Primeiro, vamos expandir o integrando:
23 + 12 - 1 = 46 + 36 - 66 = 16
Então, a integral fica:
c2 = raiz3 cdot 16 = raiz36
Calculando dentro dos parênteses:
Então:

Resposta

Portanto, o vetor v = 32 cdot 1 + raiz36 cdot raiz3(2t - 1) escrito como combinação linear na base ortonormal v = 32 + 36(2t - 1) = 32 + 12(2t - 1) = 32 + t - 12 = t + 1 é:
Simplificando o segundo termo:
O que confirma que foi escrito corretamente na base .

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