Escreva o vetor còmo combinação linear na base ortonormal de abaixo com o produto interno indicado:
com relaçāo à base ortonormal de , no produto interno

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor que pertence ao espaço . A gente quer escrever esse vetor como uma combinação linear da base ortonormal . Para fazer isso, precisamos entender o que é uma base ortonormal e como usar o produto interno dado, que é:
Então, vamos precisar lembrar como encontrar os coeficientes dessa combinação usando essas ferramentas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal significa que cada vetor da base tem norma 1 e que vetores diferentes são ortogonais entre si. Isso facilita bastante, porque para achar os coeficientes da combinação linear, basta calcular o produto interno do vetor com cada vetor da base.
Então, queremos escrever:
Onde e são os coeficientes que vamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar , vamos calcular o produto interno de com o primeiro vetor da base, que é :
Vamos resolver essa integral:

Passo 4

Agora, para encontrar , fazemos o mesmo processo, mas com o segundo vetor da base :
Primeiro, vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:

Resposta

Portanto, o vetor escrito como combinação linear na base ortonormal é:
Simplificando o segundo termo:
O que confirma que foi escrito corretamente na base .

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    e .
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Classifique as matrizes abaixo em escalonada, escalonada reduzida, ambas ou nenhuma. ©