Escreva o vetor còmo combinação linear na base ortonormal de abaixo com o produto interno indicado: com relaçāo à base ortonormal de , no produto interno
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor que pertence ao espaço . A gente quer escrever esse vetor como uma combinação linear da base ortonormal . Para fazer isso, precisamos entender o que é uma base ortonormal e como usar o produto interno dado, que é:
Então, vamos precisar lembrar como encontrar os coeficientes dessa combinação usando essas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal significa que cada vetor da base tem norma 1 e que vetores diferentes são ortogonais entre si. Isso facilita bastante, porque para achar os coeficientes da combinação linear, basta calcular o produto interno do vetor com cada vetor da base.
Então, queremos escrever:
Onde e são os coeficientes que vamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar , vamos calcular o produto interno de com o primeiro vetor da base, que é :
Vamos resolver essa integral:
Passo 4
Agora, para encontrar , fazemos o mesmo processo, mas com o segundo vetor da base :
Primeiro, vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
Portanto, o vetor escrito como combinação linear na base ortonormal é:
Simplificando o segundo termo:
O que confirma que foi escrito corretamente na base .