Sejam
e
o espaço
e
, uma transformação linear que, ao ser aplicada na base canônica, resulta em:
Podemos afirmar que
é igual a:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos traduzir o enunciado. Temos duas espaços vetoriais
e
, ambos iguais a
. A transformação linear
está definida pelo que ela faz com os vetores da base canônica de
, que são
,
e
. Nosso objetivo é encontrar
usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como aplicá-las a combinações lineares de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
satisfaz duas propriedades principais:
- Adição:
- Escalar:
, onde é um escalar.
Isso significa que podemos aplicar
a uma combinação linear de vetores aplicando
a cada vetor individualmente e depois combinando os resultados.
Passo 3
Vamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base canônica:
Agora, aplicamos a transformação linear
a essa combinação:
Usando a linearidade de
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos pelos valores que
nos dá para os vetores da base:
Somando tudo:
Resposta
A transformação
é igual a
. A alternativa correta é a c)
.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
em
, determine os vetores
,
e
.
Calcule a matriz
.
Qual é a derivada da função
?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Sejam
e
bases de
, onde
(a) Determine a matriz de mudança de base
de
para
.