Sejam V e W o espaço R^3 e T: V W, uma transformação linear que, ao ser aplicada na base canônica, resulta em:
T(1,0,0)=(1,2,4) T(0,1,0)=(2,3,7) T(0,0,1)=(-1,1,-1)
Podemos afirmar que T(5,1,-1) é igual a:
a) (5,3,1)
b) (5,1,-1)
c) (8,12,28)
d) (5,10,-4)

Passo 1

Beleza, vamos traduzir o enunciado. Temos duas espaços vetoriais V e W, ambos iguais a R^3. A transformação linear T: V W está definida pelo que ela faz com os vetores da base canônica de R^3, que são (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Nosso objetivo é encontrar T(5,1,-1) usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como aplicá-las a combinações lineares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Escalar: T(cu) = cT(u), onde c é um escalar.
Isso significa que podemos aplicar T a uma combinação linear de vetores aplicando T a cada vetor individualmente e depois combinando os resultados.

Passo 3

Vamos expressar o vetor (5,1,-1) como uma combinação linear dos vetores da base canônica:
(5,1,-1) = 5(1,0,0) + 1(0,1,0) + (-1)(0,0,1)
Agora, aplicamos a transformação linear T a essa combinação:
T(5,1,-1) = T(5(1,0,0) + 1(0,1,0) - 1(0,0,1))
Usando a linearidade de T, temos:
T(5,1,-1) = 5T(1,0,0) + 1T(0,1,0) - 1T(0,0,1)

Passo 4

Agora, substituímos pelos valores que T nos dá para os vetores da base:
5T(1,0,0) = 5(1,2,4) = (5,10,20) 1T(0,1,0) = 1(2,3,7) = (2,3,7) -1T(0,0,1) = -1(-1,1,-1) = (1,-1,1)
Somando tudo:
(5,10,20) + (2,3,7) + (1,-1,1) = (5+2+1, 10+3-1, 20+7+1) = (8,12,28)

Resposta

A transformação T(5,1,-1) é igual a (8, 12, 28). A alternativa correta é a c) (8,12,28).

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