Sejam e o espaço e , uma transformação linear que, ao ser aplicada na base canônica, resulta em:
Podemos afirmar que é igual a:
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos traduzir o enunciado. Temos duas espaços vetoriais e , ambos iguais a . A transformação linear está definida pelo que ela faz com os vetores da base canônica de , que são , e . Nosso objetivo é encontrar usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como aplicá-las a combinações lineares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição:
  2. Escalar: , onde é um escalar.
Isso significa que podemos aplicar a uma combinação linear de vetores aplicando a cada vetor individualmente e depois combinando os resultados.

Passo 3

Vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base canônica:
Agora, aplicamos a transformação linear a essa combinação:
Usando a linearidade de , temos:

Passo 4

Agora, substituímos pelos valores que nos dá para os vetores da base:
Somando tudo:

Resposta

A transformação é igual a . A alternativa correta é a c) .

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Dados os vetores em , determine os vetores , e .
Calcule a matriz .
Qual é a derivada da função ?
a)
b)
c)
d)
Sejam e bases de , onde
(a) Determine a matriz de mudança de base de para .